2017年全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解
2017年5月7日8:00——10:00
一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分）
????????????????1.已知向量AP?1,3,PB??3,1，则向量AP与AB的夹角等于 ．
????????????????????解一：由题设AP?PB?(1,3)?(?3,1)?0，且|AP|?|PB|，故?APB为等腰直角三角
?????????形，从而向量AP与AB的夹角等于.
4????????????????????解二：因为AB?AP?PB?(1?3,3?1)，所以cos?AB,AP???????与AB的夹角等于.
4????2，所以向量AP22.已知集合A?x|?ax?1??a?x??0，且a?A,3?A，则实数a的取值范围是 ．
??解：有题设，知??(2a?1)(a?2)?0
?(3a?1)(a?3)?0?a?2或a?1?2所以：?
?1?a?3?3所以
1?a?1或2?a?3 32??2?，其中i是虚数单位，则z3?z2? ． ?isin333.已知复数z?cos32解：有题设z?z?cos6??isin6??cos4??isin4??1?3i
333322x2y24.在平面直角坐标系xOy中，设F1,F2分别是双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左，右焦点，
abP是双曲线右支上一点，M是PF2的中点，且OM?PF2,3PF1?4PF2，则双曲线的离心率
为
．
答案：5．
5.定义区间?x1,x2?的长度为x2?x1．若函数y?log2x的定义域为?a,b?，值域为?0,2?，则区间?a,b?的长度的最大值与最小值的差为 ．
答案：3.
6.若关于x的二次方程mx2??2m?1?x?m?2?0?m?0?的两个互异的根都小于1，则实数
m的取值范围是 ．
?3?7?答案：?,???.
?4???7.若tan4x?3sin4xsin2xsinxsinx，则???? ． 3cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx
答案：3.
8.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间坐标系O-xyz中运动，其中顶点A保持在z轴
上，顶点B1保持在平面xOy上，则OC长度的最小值是 ．
答案：6?2.
9.设数列a1,a2,a3,?,a21满足：an?1?an?1?n?1,2,3,?,20?，a1,a7,a21成等比数列．若a1?1,a21?9，则满足条件的不同的数列的个数为 ．
答案：15099．
10.对于某些正整数n，分数
n?2不是既约分数，则n的最小值是 ． 23n?7
答案：17. 二、解答题：（本大题共4小题，每小题20分，共80分） nan?12,n?N*. 11.设数列?an?满足：①a1?1，②an?0，③an?nan?1?1求证：（1）数列?an?是递增数列；
1 （2）对如图任意正整数n，an?1??.
k?1knnan?12an?1?,且an?0， 证明：（1）因为an?1?an?an?1?nan?1?1nan?1?1所以an?1?an?0．所以an?1?an,n?N*. 所以数列?an?是递增数列．
（2）因为an?1?an?所以当n?2时，
an?1a1?n?1?,
nan?1?1nan?1nan??an?an?1???an?1?an?2?????a2?a1??a11111??????1n?1n?221n1?1??.k?1k?
1又a1?1?1?1,所以对任意正整数n，an?1??.
k?1knx2y212.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E:2?2?1?a?b?0?，直线l:x?y?3a?0.若椭
ab3圆E的离心率为，原点O到直线l的距离为32.
2（1）求椭圆E与直线l的方程；
（2）若椭圆E上三点P,A?0,b?,B?a,0?到直线l的距离分别为d1,d2,d3， 求证：d1,d2,d3可以是某三角形三条边的边长． ?3a?32,??2??a?2,3?c解：（1）由题设条件得??，从而? ,b?1.2??a222?b?c?a,???x2故所求的椭圆E:?y2?1．直线l:x?y?6?0.
4（2）设P?2cos?,sin??，则d1?所以2cos??sin??62?6?5sin?????2,其中tan??2.
62?1062?10?d1?. 22又d2?0?1?62?2?0?652,d3??22. 22故d2?d1. 因为d2?d3?d1?d3?529262?10?22???d1, 22262?10102?1052?22???d1. 222所以d1,d2,d3可以是某个三角形的三条边的边长．
13.如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，切点分别为P,Q,R,S,OA与PS交于点A1,OB与PQ交于点B1，OC与QR交于点C1，OD与SR交于点D1．
求证：四边形A1B1C1D1是平行四边形．
DD1SRC1CQOB1A1BPA证明：连接PR,QS.
DD1SRC1CQOB1A1BPA因为圆O是四边形ABCD的内切圆，所以OA是?SAP的平分线，且AP?AS. 在△ASP中，由三线合一，点A1是线段PS的中点． 同理点B1是线段PQ的中点，所以A1B1//SQ．
同理A1D1//B1C1．
所以四边形A1B1C1D1是平行四边形． 14.求满足x3?x?y7?y3的所有素数x和y. 解：满足题设条件的素数只有x?5,y?2. 假设y?5,则
y7?y3?5y6?y3?y6?20y5?y3?y6?6y5?70y4?y3?y6?6y5?15y4?20y3?15y2?6y?1 ??y?1?.所以，x3?x3?x?y7?y3??y?1?,即x??y?1?.
又因为x|x3?x?y7?y3?y3?y?1??y?1?y2?1，且x为素数， 而y?1?y?y?1?y2?1??y?1??x,从而x\\|y3?y?1??y?1?y2?1, 这与x|y7?y3矛盾．
所以y?5.
因为y是素数，所以y?2,或y?3.
当y?2时，x3?x?120，即?x?5?x2?5x?24?0,所以x?5. 当y?3时，x3?x?2160?24?33?5. 所以x?2,或x?3，或x?5.
经检验，x?2，或x?3，或x?5时，x3?x?24?33?5. 所以满足条件的素数只有x?5,y?2.
2626??????