4．设a＜b＜0，a+b=4ab，则
22
的值为（ A ）
A． B． C．2 D．3
22222222
解答：解：∵a+b=4ab，∴a+b+2ab=（a+b）=6ab① ∴a+b﹣2ab=（a﹣b）=2ab② ，得
=
∵a＜b＜0，∴ab＞0，a+b＜0，a﹣b＜0，
∴==3，∴=．
2
2
点评：本题考查了完全平方公式及代数式的求值，属于基础题，关键利用已知条件a+b=4ab与完全平方公式（a±b）=a±2ab+b的联系找到与所求比值
2
2
2
的关系．
2
2
2
5．已知a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，则多项式a+b+c﹣ab﹣bc﹣ca的值为（ D ） A．0 B．1 C．2 D．3
解答：解：∵a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005， ∴a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，
∴a+b+c﹣ab﹣bc﹣ca=（2a+2b+2c﹣2ab﹣2bc﹣2ca），
=[（a﹣2ab+b）+（b﹣2bc+c）+（a﹣2ac+c）]，=[（a﹣b）+（b﹣c）+（a﹣c）
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
]，
=×（1+1+4），=3．
点评：本题主要考查公式法分解因式，达到简化计算的目的，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键． 6．设a、b、c为实数，
，则x、y、z
中，至少有一个值（A） A．大于0 B．等于0 C．不大于0 D．小于0
222
解答：解：因x+y+z={（a﹣1）}+{（b﹣1）}+{（c﹣1）}+π﹣3＞0， 则x、y、z中至少有一个大于0，
点评：此题考查的知识点是完全平方公式，关键是把x、y、z相加，运用完全平方公式得出
222
x+y+z={（a﹣1）}+{（b﹣1）}+{（c﹣1）}+π﹣3＞0． 7．已知abc≠0，且a+b+c=0，则代数式
的值是（ A ）
A．3 B．2 C．1 D．0 解答：解：把a=﹣（b+c），b=﹣（a+c），c=﹣（a+b）代入， 原式=（
），
，=﹣（
）﹣（
）﹣
11
=，=．
点评：本题考查了分式的化简求值，属于基础题，主要是由已知条件先变形后再代入化简．
22
8．若M=3x﹣8xy+9y﹣4x+6y+13（x，y是实数），则M的值一定是（ C ） A．零 B．负数 C．正数 D．整数
22
解答：解：M=3x﹣8xy+9y﹣4x+6y+13，
2222222
=（x﹣4x+4）+（y+6y+9）+2（x﹣4xy+4y）=（x﹣2）+（y+3）+2（x﹣2y）≥0． 点评：本题主要考查了非负数的性质，将M的表达式根据完全平方公式的特点进行变形是解答本题的关键．
9．某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，若用p表示d，则d=
．
，
解答：解：设成本价是1，则（1+p%）（1﹣d%）=1．1﹣d%=d%=1﹣
d=
．
点评：解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．保证不亏本，即让售价和成本价持平．
10．已知﹣1＜a＜0，化简
得 ﹣
．
解答：解：∵﹣1＜a＜0，∴a+＜0，a﹣＞0；
∴
=（a﹣）[﹣（a+）]=﹣
．
=
点评：解决本题的关键是根据已知条件确定a+，a﹣的符号．
11．已知实数z、y、z满足x+y=5及z=xy+y﹣9，则x+2y+3z= 8 ．
22
解答：解：∵x+y=5，z=xy+y﹣9，∴（x+1）+y=6，（x+1）?y=z+9，
22
∴x+1，y是t﹣6t+z+9=0的两个实根．∵方程有实数解，
22222
∴△=（﹣6）﹣4（z+9）=﹣4z≥0，∴4z≤0，∴z≤0，
22
又∵z≥0，∴z=0．解方程t﹣6t+9=0，得x+1=3，y=3，∴x=2，y=3．∴x+2y+3z=2+2×3+3×0=8．
2
点评：本题主要考查了一元二次方程的解法，根的判别式（△=b﹣4ac）与方程的根的对应关系，根与系数的关系，平方的非负性及代数式求值的方法，综合性较强，有一定难度．解题关键在于能够通过观察将两个已知等式改写，从而发现x+1，y是方程t﹣6t+z+9=0的两个实根．
222
12．已知x1、x2、…、x40都是正整数，且x1+x2+…+x40=58，若x1+x2+…+x40的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于 494 ．
解答：解：因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种， 故x1+x2+…+x40的最小值和最大值是存在的．
2
2
2
2
2
2
12
不妨设x1≤x2≤…≤x40，若x1＞1，则x1+x2=（x1﹣1）+（x2+1），且（x1﹣1）+（x2+1）=x1+x2+2
22222
（x2﹣x1）+2＞x1+x2，所以，当x1＞1时，可以把x1逐步调整到1，这时x1+x2++x40将增大；
222
同样地，可以把x2，x3，x39逐步调整到1，这时x1+x2++x40将增大．
222
于是，当x1，x2，x39均为1，x40=19时，x1+x2++x40取得最大值，即A=
+19=400．
2
2
2
2
2
2222
若存在两个数xi，xj，使得xj﹣xi≥2（1≤i≤j≤40），则（xi+1）+（xj﹣1）=xi+xj﹣2（xj﹣
22
xi﹣1）＜xi+xj，
这说明在x1，x3，x39，x40中，
222
如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1，这时，x1+x2++x40将减小．
222
所以，当x1+x2++x40取到最小时，x1，x2，x40中任意两个数的差都不大于1．
222
于是当x1=x2=x22=1，x23=x24=x40=2时，x1+x2+…+x40取得最小值， 即
，故A+B=494．
点评：本题考查的是整数问题的综合运用，能根据完全平方公式得出其最大、最小值是解答此题的关键，此题难度较大． 13．计算
4
2
2
2
2
2
= 2
．
2
解答：解：x+4=（x+2）﹣（2x）=（x+2x+2）（x﹣2x+2）=[（x+1）+1][（x﹣1）+1]， ∴原式=
．
4
点评：本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是找到题目中蕴含的共性规律x+4=2222222（x+2）﹣（2x）=（x+2x+2）（x﹣2x+2）=[（x+1）+1][（x﹣1）+1]．
32
14．已知多项式ax+bx﹣47x﹣15可被3x+1和2x﹣3整除，则a+b= 26 ． 解答：解：由已知可知，
得
，解得，∴a+b=24+2=26．
点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A被B整除，另外一层意思也就是说，B是A的公因式，使公因式B等于0的值，必是A的一个解． 15．已知实数a、b、c、d互不相等，且
，试求x的值．
解答：解：由已知有a+=x，①； b+=x，②；c+=x，③；d+=x，④；
13
即dx﹣（ad+1）x﹣（2d﹣a）x+ad+1=0⑦
3
由④得ad+1=ax，代入⑦得（d﹣a）（x﹣2x）=0
3
由已知d﹣a≠0，∴x﹣2x=0
若x=0，则由⑥可得a=c，矛盾．
2
故有x=2，x=±
点评：此题主要考查了分式的等式变形，运用未知数简介代换得出两式相乘等于0的形式，是解决问题的关键．
16．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax+bx+c的值都是平方数（即整数的平方）， 证明：（1）2a，2b，c都是整数；
（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；
2
（3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax+bx+c的值都是平方数？
解答：证明：（1）∵对一切x的整数值，x的二次三项式ax+bx+c的值都是平方数，
2
∴令x=0，a?0+b?0+c=c，c是整数且是平方数，
22
令x=1，﹣1时a?1+b?1+c，a?（﹣1）+b?（﹣1）+c是平方数，
22222
∴可设a?1+b?1+c=m1①a?（﹣1）+b?（﹣1）+c=n1②c=k1（m1n1k1均为整数），
222
①﹣②得：2b=m1﹣n1，∴2b为整数（整数相减为依然为整数），由①得：2a=2m1﹣2b﹣2c，
∴2a为整数，∴2a，2b，c都是整数； （2）（1）中已证c是整数且是平方数， 令x=2，﹣2时，可设a?2+b?2+c=m2③a?（﹣2）+b?（﹣2）+c=n2④c=k1（m2n2k1均为整数），
22
③﹣④得：4b=m2﹣n2=（m2+n2）（m2﹣n2）=2（2b），
22
∵2b为整数，∴2（2b）为偶数，则m2﹣n2为偶数， ∴（m2+n2），（m2﹣n2）同奇同偶， 则可设（m2+n2）=2m，（m2﹣n2）=2n（m，n均为整数）， ∴4b=2m?2n=4mn，∴b=mn，∴b为整数；
2
（3）令x=1，a=1，b=1，c=1，则ax+bx+c=3，而3不是平方数．∴不一定成立． 点评：本题考查完全平方数的知识，综合性较强，难度较大，注意在解决多项式的系数的和、差以及其奇偶、整问题一般思路都是用特殊值法．
17．若a=1995+1995?1996+1996，求证：a是一完全平方数，并写出a的值． 解答：解：设x=1995，则1996=x+1，
22222222
所以a=1995+1995?1996+1996=x+x（x+1）+（x+1）
2222
=（x+1）﹣2x（x+1）+x+2x（x+1）+x（x+1）
222
=（x+1﹣x）+2x（x+1）+[x（x+1）]=1+2x（x+1）+[x（x+1）]
222
=[1+x（x+1）]=（1+1995×1996）=3982021．
2
故a是一完全平方数，a的值为3982021．
点评：本题考查了完全平方式，在计算中巧用换元法灵活应用公式可化繁为简，起到简便计算的作用．
18．设a、b、c、d是四个整数，且使得一个非零整数，求证：|m|一定是个合数．
是
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
32
14
解答：解：要证明|m|是合数，只要能证出|m|=p?q，p?q均为大于1的正整数即可．====
因为m是非零整数，则
是
非零整数．
由于四个数a+b+c﹣d，a+b﹣c+d，a﹣b+c+d，﹣a+b+c+d的奇偶性相同，乘积应被4整除， 所以四个数均为偶数．
所以可设a+b+c﹣d=2m1，a+b﹣c+d=2m2，a﹣b+c+d=2m3，﹣a+b+c+d=2m4，其中m1，m2，m3，m4均为非零整数．所以m=（2m1）（2m2）（2m3）（2m4）=4m1m2m3m4，
所以|m|=4|m1m2m3m4|≠0，所以|m|是一个合数．
点评：本题考查的是质数与合数的定义、因式分解、奇数与偶数的定义、绝对值的性质，涉及面较广，难度较大．
2
19．若a的十位数可取1、3、5、7、9．求a的个位数．
2
解答：解：设a=10b+c，其中c取自0，1，2，3，4，9，将c写成两位数的形式为00，01，
2
04，09，16，25，36，49，64，81，其中只有c=4、6时其十位数为奇数，又a=（10b+c）222222
=2×（5b+bc）×10+c，可见，a的十位数是一个偶数加上c的十位数，当a的十位数为奇数1，2，5，7，9时，a的个位数只能取4、6．
点评：此题考查的知识点是尾数特征问题，解答此题的关键是用列举法，依据奇数的平方的十位数字必为偶数解答．
15