第一章 行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：
201abc（1）1?4?1； （2）bca
?183cab111xyx?y（3）abc； （4）yx?yx. a2b2c2x?yxy201解 （1）1?4?1?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8
?183?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1)=?24?8?16?4 =?4
abc（2）bca?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc
cab?3abc?a3?b3?c3
111（3）abc?bc2?ca2?ab2?ac2?ba2?cb2
a2b2c2?(a?b)(b?c)(c?a)
xyx?y（4）yx?yx x?yxy?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3 ?3xy(x?y)?y3?3x2y?3y2x?x3?y3?x3 ??2(x3?y3)
1
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n?1) 2 4 … (2n)；
（6）1 3 … (2n?1) (2n) (2n?2) … 2. 解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2
（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3
n(n?1)（5）逆序数为：
23 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … (2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n?2)
(n?1)个
（6）逆序数为n(n?1)
3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … (2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n?2)
(n?1)个
4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … (2n) 2，(2n) 4，(2n) 6，…，(2n) (2n?2) (n?1)个
3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为
(?1)ta1p1a2p2a3p3a4p4，其中t为p1p2p3p4的逆序数．由于p1?1,p2?3 已固定，p1p2p3p4只能形如13□□，即1324或1342.对应的t分别为
0?0?1?0?1或0?0?0?2?2
??a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求.
4.计算下列各行列式：
2
??4124??202?520??2141?（1）?1??（2）?3?121?； ?10?123?； ?0117?2????5062????abacae???a100?（3）??bd?cdde?； （4）??1b10?? ??bfcf?ef?????0?1c1??00?1d??解
41244?12?10(1)1202c2?c3120210520c?7c
431032?14011700104?1?10=122?(?1)4?3 103?144?11099=12?2c102?c310314c00?2=0 1?12c3171714
21412140(2)
3?121c4?c23?12212321230
5062506221402140r4?r23?122r13?1221230
r4?1230=0
21400000
?abacae?bce(3)bd?cdde=adfb?ce bfcf?efbc?e 3
?111=adfbce1?11=4abcdef
11?1
a(4)
1b?1001c01001?abb?1a1c001
?1000r1?ar2?1?1d00?1d1?aba01?abaadc3?dc22?1?1c1 ?1c1?cd =(?1)(?1)0?1d0?10=(?1)(?1)3?21?ab?1ad1?cd=abcd?ab?cd?ad?1
5.求解下列方程
x?12?1(1)2x?11=0;
?11x(2) 2xx31aa2a311bb2b3x?11c?0，其中a,b,c互不相等。 2cc3x?1解：(1) 22x?11?11=(x+1)3-6(x+1)-4=x3+3x2-3x-9=(x2-3)(x+3)=0 x?1?1?x??3,?3
(2)由范德蒙德行列式有
1111xabc?(a?x)(b?x)(c?x)(b?a)(c?a)(c?b)=0 2222xabcx3a3b3c3?x?a,x?b,x?c
6.证明:
4
a2abb2(1)2aa?b2b=(a?b)3;
111ax?byay?bzaz?bxx(2)ay?bzaz?bxax?by=(a3?b3)yaz?bxax?byay?bzzyzxzx; ya2(a?1)2(a?2)2(a?3)2b2(b?1)2(b?2)2(b?3)2(3)2?0; 222c(c?1)(c?2)(c?3)d2(d?1)2(d?2)2(d?3)21111abcd(4)2 222abcda4b4c4d4?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)?(c?d)(a?b?c?d); x?10?000x?1?00(5)???????anxn?an?1xn?1???a1x?a0.
000?x?1a0a1a2?an?1an证明
a2ab?a2b2?a2c2?c1(1)左边?2ab?a2b?2a
c3?c11002b?2aab?a?(b?a)(b?a)?(a?b)3?右边
12xay?bzaz?bxyay?bzaz?bx按第一列ayaz?bxax?by ?bzaz?bxax?by (2)左边分开zax?byay?bzxax?byay?bz?(?1)3?1ab?a2b?ab2?a2
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