§6.4 动量和能量
一、知识扫描
（1）统动量守恒的条件是系统所受合外力为零，系统机械能守恒的条件是只有重力和系统内的弹力对系统内物体做功。
（2）系统内的物体发生两次或两次以上相互作用时，只要系统所受合外力为零，在任一相互作用过程中，系统的动量均守恒。系统的初动量和末动量一定相等，但每次相互作用均可能有动能损失，因而往往要逐次研究相互作用中的动能变化。
（1） 系统沿x轴方向所受合外力为零，而沿y轴（y⊥x）方向合外力不为 零时，系统总动量不守恒，但沿x轴方向，系统动量守恒。 二、好题精析
例1．如图6－4－1所示，在光滑的水平杆上套者一个质量为m的滑环，滑环上通过一根不可伸缩的轻绳悬吊着质量为M的物体（可视为质点），绳长为L。将滑环固定时，给物块一个水平冲量，物块摆起后刚好碰到水平杆，若滑环不固定，仍给物块以同样的水平冲量，求物块摆起的最大高度。
〖解析〗设物块受到水平冲量后速度为v0。滑环固定时
12mv?mgL得v0?2gL。 2滑环不固定时，摆起最大高度为h，在最大速度时的共同速度为v： Mv0?(M?m)v
112Mv0?(M?m)v2?Mgh 22图6－4－1
解得：h?mL M?m〖点评〗（1）滑环不固定时，受动量后系统水平方向合外力为零，在水平方向动量守恒。 （2）物快在最大高度时，物快竖直方向速度为零，水平方向速度与滑环速度相等。 例2．质量为m的子弹，以水平初速度v0射向质量为M的长方体木块。
（1）设木块可沿光滑水平面自由滑动，子弹留在木块内，木块对子弹的阻力恒为f，求弹射入木块的深度L。并讨论：随M的增大，L如何变化？
（2）设v0=900m/s，当木块固定于水平面上时，子弹穿出木块的速度为v1=100m/s。若木块可沿光滑水平面自由滑动，子弹仍以v0=900m/s的速度射向木块，发现子弹仍可穿出木块，求M/m的取值范围（两次子弹所受阻力相同）。
〖解析〗当木块可自由滑动时，子弹、木块所组成的系统动量守恒： mv0 =（M+m）v ①
分别对子弹、木块应用动能定理： 1212mv0?mv??fs1 ② 2212mv?fs2 ③ 2式中，s1 、s2分别为子弹、木块的对地位移。从图6－4－2中，很容易看出，s1 、s2之差即为子弹射入木块的深度L，即s1?s2?L
121?(m?M)v2?f(s1?s2) 由②、③：mv022121?(m?M)v2?fL ④ 即mv0222mMv0?由，①、④，可解出打入深度为L?2f(m?M)2mv0 m2f(?1)M图6－4－2
可知，随M增大，L增大。
1121212??fL0，即mv0?mv1?fL0 ⑤ 当木块固定时：mv12?mv02222式中L0为木块在运动方向的长度。
当木块可自由滑动时，分别对子弹的木块应用功能定理： 1212mv1?mv0??fs1 2212Mv2?fs2 2显然，s1?s2?L0，由此：
12112mv0?(mv12?mv2)?fL0 ⑥ 222⑤、⑥两式的物理意义一致的，即：子弹射穿木块过程中，系统的动能损失总等于子弹所受阻力与子弹相对于木块的移动距离之积。
子弹能射穿木块的临界条件是，子弹射穿木块后，子弹与木块等速：
mv0?(M?m)v ⑦
这种情况下，系统的动能损失仍等于阻力与相对移动距离之积： 121mv0?(M?m)v2?fL0 222mMv0?fL0 ⑧ 将⑦代入，可得：
2(M?m)2mMv01122由⑤、⑧两式mv0?mv1?，
222(M?m)2mv0 v?v?M?m2v0?v1281MM???80为子弹刚好穿出时M∶m的值。我们已经知道，可解出，2M?m1mv02021M越大，子弹打入木块的深度越大，故M∶m＝80应为M∶m的最小值，即应取M∶m≥80。
〖点评〗（1）应用动能定理列方程时，方程中的速度、位移均应以地面为参照物，如②、③两式。（2）要理解②、③、④的物理意义。②、③是根据动能定理列出的，在本题模型中，1212?mv?fs1，反应了木块对子弹所做功③式反映了子弹对木块所做功，②式变号：mv022的大小，可见子弹对木块所做功与木块对子弹所做功大小是不相等的。④式表示，系统的动能损失等于阻力与相对移动距离之积。（3）临界条件的确定往往是解题的关键，很多情况下，临界条件是依据实际状况确定的，如两物体分离的临界条件是它们间的弹力为零；两物体在同一直线上运动时，距离取极值（临界值）的条件是等速。本题中，子弹射穿木块，相当于子弹作减速运动追木块的远端面，能追上的临界条件是：追上时恰好等速。
例3．如图6－4－3，在光滑水平桌面上，物体A和B用轻弹簧连接，另一物体C靠在
B左侧未连接，它们的质量分别为mA=0.2kg，mB=mC=0.1kg。现用外力将B、C和A压缩弹簧，外力做功为7.2J，弹簧仍在弹性限度内然后由静止释放。试求：
（1） 弹簧伸长最大时弹簧的弹性势能；
（2） 弹簧从伸长最大回复到自然长度时，A、B速度的大小。 〖解析〗取向右为正方向。
（1） 第一过程，弹簧从缩短至原长 mAvA1?(mB?mC)v1?0 图6－4－3
112mAvA(mB?mC)v12?Ep0 1?22代入数据得：vA1?6m/s，v1?6m/s
第二过程，弹簧从原长伸至最长，此时A、B速度相等，有 mAvA1?mBv1?(mA?mB)v2 112Epm?Ep0?(mA?mB)v2?mCv12
22代入数据得：v2?2m/s，Epm?4.8J （2）
第三过程，弹簧从最长至原长，有
(mA?mB)v2?mAvA3?mBvB3
11122(mA?mB)v2?Epm?mAvA?mBvB3 3222得：vA3??2m/s，vB3?10m/s
〖点评〗弹簧伸长时，B、C间有弹力作用，A、B系统的动量不守恒，但以A、B、C作为系统，动量守恒。以后B、C分离，A、B系统的动量守恒。本题说明有多个物体时，需合理选择物体组成研究系统。
例4．如图6－4－4所示，有一半径为R的半球形凹槽P，放在光滑的水平地面上，一面紧靠在光滑墙壁上，在槽口上有一质量为m的小球，由A点静止释放，沿光滑的球面滑下，经最低点B又沿球面上升到最高点C，经历的时间为t，B、C两点高度差为0.6R，求
(1)小球到达C点的速度。
(2)在t这段时间里，竖墙对凹槽的冲量
〖解析〗(1)小球从A到B的过程中，凹槽P不动，对m
图6－4－4 12mgR?mvB ①
2小球从B到C的过程中，凹槽和球构成系统动量守恒(水平方向)和机械能守恒，所以有 mvB?(M?m)vC ② 1212mB?(M?m)vC?mg?0.6R ③ 22解①②③得小球到达C点的速度，vC?0.42gR，方向水平向右。 (2)竖直墙对凹槽的冲量等于系统在水平方向获得的动量，所以有
I?(M?m)vC?mvB?m2gR，方向水平向右。
〖点评〗要分析清楚小球和凹槽系统在各个运动阶段动量守恒或不守恒的原因。 例5.如图6－4－5所示，光滑水平面上有A、B两小车，质量分别为 mA=20㎏，mB=25㎏。以初速度v0=3m/s向右运动，B车原静止，且B车右端放着物块C，C的质量为 mC=15
图6－4－5
㎏。A、B相撞且在极短时间内连接在一起，不再分开。已知C与B水平表面间动摩擦因数为μ=0.20,B车足够长，求C沿B上表面滑行的长度。
〖解析〗 A、B相撞: mAv0=( mA+ mB)v1
解出v1=4/3m/s.由于在极短时间内摩擦力对C的冲量可以忽略,故A、B刚连接为一体时，C的速度为零。.此后,C沿B上表面滑行,直至相对于B静止为止.这一过程中,系统动量守恒,系统的动能损失等于滑动摩擦力与C在B上的滑行距离之积:
( mA+ mB)u1=( mA+ mB+ mc)u ①
11(mA?mB)v12?(mA?mB?mC)v2??mCgL ② 22解出L?1m。 3〖点评〗(1)本题中,系统内三个物体间发生两次相互作用。A、B相撞并连为一体的过程，C未参与，理解了这一点,才能构建正确的物理图景.(2)常有人以方程mAv0=( mA+ mB+ mc)v及
112mAv0?(mA?mB?mC)v2??mCgL代替上述①、②两式,动量方程显然正确,系统动量始终22是守恒的,能量方程却不成立, 因A、B相撞为一完全非弹性碰撞过程,这一过程已产生了动能损失(转化为动能).在研究二次碰撞这一类的问题时,应尽量避免发生类似错误.
三、变式迁移 1．光滑定滑轮上用轻绳悬挂质量分别为m、2m的A、B两物体。如图6－4－6所示，B物体停在地面上，用手托起A升高h后，突然松开。求B物体能上升的最大高度。设整个过程中A始终未落地。
图6－4－6
2．如图6－4－7,质量为M的小车静止于光滑水平面上，小车上有一竖直光滑圆弧，小物块静止于小车上圆弧底端附近的光滑水平表面上，物块质量为m，在极短时间内给小车一水平向右的冲量I，求物块沿圆弧面上升的最大高度 (物块向上未滑出圆弧面)。
四、能力突破
图6－4－7
1．关于物体或系统的机械能和动量是否守恒,下列说法中,正确的是 ( ) A．系统所受合外力为零,它的动量和机械能均一定守恒 B．物体作匀速直线运动,物体的动量和机械能均可能不守恒 C．物体所受合外力对物体不做功,物体的动量和机械能可能均不守恒
D．甲、乙两物体组成一系统,甲、乙所受合外力均不为零,则系统的动量、机械能不可能守恒
2．如图6－4－8所示，木块B与水平面间的摩擦不计，子弹A沿水平方向射入木块并在极短时间内相对于木块静止下来，然后木块压缩弹簧至弹簧最短．将子弹射入木块到刚相对于静止的过程称为I，此后木块压缩的过程称为II，则( )
A． 过程I中，子弹和木块所组成的系统机械能不守恒且动量也不守恒．
B． 过程I中，子弹和木块所组成的系统机械能不守恒，动量守恒．
图6－4－8
A B C． 过程II中，子弹和木块所组成的系统机械能守恒且动量也守恒． D． 过程II中，子弹和木块所组成的系统机械能守恒，动量不守恒． 3．如图6－4－9所示，A、B两滑块的质量均为m，分别穿于光滑的足够长的水平放置的固定导杆上，两导杆平行，间距为d，以自然长度为d的轻弹簧连接两滑块，设开始时两滑块位于同一竖直线上且速度为零，现给B滑块一个水平向右的冲量，其大小为I，
图6－4－9