广东省2014年普通高等学校招生全国统一考试
（数学理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M?{?1,0,1}，N?{0,1,2}，则MN? A.{?1,0,1} A.3?4i
B.{?1,0,1,2} B.3?4i
C.{?1,0,2} C.?3?4i
D.{0,1} D.?3?4i
2．已知复数Z满足(3?4i)z?25，则Z=
?y?x?3．若变量x,y满足约束条件?x?y?1且z?2x?y的最大值和最小值分别为m和n，则
?y??1?m?n?
A.8
B.7
C.6
D.5
x2y2x2y2??1的 ??1与曲线4．若实数k满足0?k?9，则曲线
25?k9259?kA.离心率相等
B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等
D.焦距相等
5．已知向量a??1,0,?1?，则下列向量中与a成60?夹角的是
A.（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）
6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是
近视率/%
小学生 高中生 3500名 2000名 50
30 初中生
4500名 10
O 小学 初中 高中 年级
A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100，10
7．若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4，满足l1?l2,l2?l3,l3?l4，则下面结论一定正确的是
A.l1?l4 B.l1//l4 C.l1,l4既不垂直也不平行 D.l1,l4的位置关系不确定 8．设集合A=A.60
??x,x,x,x,x?12345x?1,0,1},i?1,2,3,4,5A中满足条件?，那么集合i?{C.120
D.130
“1?x1?x2?x3?x4?x5?3”的元素个数为
B.90
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9．不等式x?1?x?2?5的解集为 。
10．曲线y?e?5x?2在点(0,3)处的切线方程为 。
11．从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。
12．在?ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知bcosC?ccosB?2b， 则
a? 。 b13．若等比数列?an?的各项均为正数，且a10a11?a9a12?2e5，
则lna1?lna2????lna2n? 。 （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14\\（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为?sin2??cos?和?sin??1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为_________.
15.（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD中， 点E在AB上且EB?2AE，AC与DE交于点F，
D F A E B C ?CDF的面积? 则
?AEF的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（12分）已知函数f(x)?Asin(x? （1）求A的值； （2）若f(?)?f(??)?
17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，39，36.
根据上述数据得到样本的频率分布表如下： 分组 频数 频率 [25,30 ] 3 0.12 [30,35 ] 5 0.20 [35,40 ] 8 0.32 [40,45 ] n1 f1 [45,50 ] n2 f2
（1）确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值；
?4),x?R，且f(53?)?， 1223?3，??(0,)，求f(???)。 224（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率。 18．（本小题满分13分）
0如图4，四边形ABCD为正方形，PD?平面ABCD，?DPC?30，AF?PC于点F，
FE//CD，交PD于点E.
（1）证明：CF?平面ADF （2）求二面角D?AF?E的余弦值。
A B
DE C
F
p 19.设数列?an?的前n和为Sn,满足Sn2?2nan?1?3n2?4n,n?N*，且S3?15。 (1)求a1,a2,a3的值; (2)求数列?an?的通项公式;
x2y2520.已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个焦点为(5,0)，离心率为，
ab3（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。
21．设函数f(x)?1(x?2x?k)?2(x?2x?k)?3222，其中k??2。
（1）求函数f(x)的定义域D（用区间表示）； （2）讨论函数f(x)在D上的单调性；
（3）若k??6，求D上满足条件f(x)?f(1)的x的集合（用区间表示）。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）参考答案
１－８：BACD BADD;
８.解：A中元素为有序数组?x1,x2,x3,x4,x5?，题中要求有序数组的5个数中仅1个数为?1、
123仅2个数为?1或仅3个数为?1，所以共有C5?2?C5?2?2?C5?2?2?2?130个不同
数组；
(2,??); 10.y??5x?3; 11.1; 12.2; 13.50; 14.(1,1); 15.9;
633C6?C311.解：6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，P??1； 36C109.(??,?3)16.解：（1）f(5?)?Asin(5???)?3，
121242?A?3?3，A?3；f(??)f(?)
22（2）f(?)?f(??)?3sin(???)?3sin(????)?3，
442?3[2(sin??cos?)?2?6cos??3，cos??22(?sin??cos?)]?3， 226，又??(0,?)， 42?sin??1?cos2??10， 43f(???)?3sin(???)?3sin??30．
4417. 解：（1）n1?7,n2?2，f1?0.28,f2?0.08；
（2）样本频率分布直方图为
频率 组距 0.064 0.056 0.04 0.024 0.016 25 30 35 40 45 50 日加工零件数 0
（3）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率0.2， 设所取的4人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为?，则?~B(4,0.2)，
P(??1)?1?P(??0)?1?(1?0.2)4?1?0.4096?0.5904，
所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率约为0.5904．
18.（１）PD?平面ABCD，
?PD?AD，又CD?AD，PDCD?D， ?AD?平面PCD，
?AD?PC，又AF?PC，
?PC?平面ADF，即CF?平面ADF；
0（２）设AB?1，则Rt?PDC中，CD?1，又?DPC?30， ?PC?2，PD?3，由（１）知CF?DF
z A B ?DF?3，AF?2AD2?DF2?7，
2?CF?AC2?AF2?1，又FE//CD，
2?DE?CF?1，?DE?3，同理EF?3CD?3，
4PDPC444如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,1)， P D E F C y E(3,0,0)，F(3,3,0)，P(3,0,0)，C(0,1,0)，
x 444?3?m?AE?AE?(4,0,0)设m?(x,y,z)是平面AEF的法向量，则?，又?，
3m?EF??EF?(0,,0)?4??m?AE?所以??m?EF??3x?z?04，令x?4，得z?3，m?(4,0,3)， 3y?04由（１）知平面ADF的一个法向量PC?(?3,1,0)， 设二面角D?AF?E的平面角为?，可知?为锐角，
|m?PC|cos??|cos?m,PC?|??43?257，即所求．
1919?2|m|?|PC|
19.解：S2?4a3?20，S3?S2?a3?5a3?20，又S3?15，
?a3?7，S2?4a3?20?8，又S2?S1?a2?(2a2?7)?a2?3a2?7， ?a2?5，a1?S1?2a2?7?3， 综上知a1?3，a2?5，a3?7；
（２）由（１）猜想an?2n?1，下面用数学归纳法证明． ①当n?1时，结论显然成立；
②假设当n?k（k?1）时，ak?2k?1，
3?(2k?1)2则Sk?3?5?7?(2k?1)??k?k(k?2)，又Sk?2kak?1?3k?4k，
2?k(k?2)?2kak?1?3k2?4k，解得2ak?1?4k?6， ?ak?1?2(k?1)?1，即当n?k?1时，结论成立；
由①②知，?n?N*,an?2n?1．
20.解：（１）可知c?5，又c?5，?a?3，b2?a2?c2?4，
a3x2y2??1； 椭圆C的标准方程为94（２）设两切线为l1,l2，
①当l1?x轴或l1//x轴时，对应l2//x轴或l2?x轴，可知P(?3,?2)；