y
1O1x故不等式
f(x)?f(?x)?0的解集为(?1,0)?(0,1)．
x
19．下列几个命题
①方程x2?(a?3)x?a?0有一个正实根，一个负实根，则a?0； ②函数y?x2?1?1?x2是偶函数，但不是奇函数； ③命题“若x2?1，则x?1”的否命题为“若x2?1，则x≤1”；
④命题“?x?R，使得x2?x?1?0”的否定是“?x?R，都有x2?x?1≥0”； ⑤“x?1”是“x2?x?2?0”的充分不必要条件． 正确的是__________． 【答案】①④⑤
???(a?3)2?4a?0【解析】对于①，若方程x?(a?3)x?a?0有一个正实根，一个负实根，则?，解
?a?02得a?0，故①正确；
对于②，要使函数y?x2?1?1?x2有意义，则x2?1≥0，解得x??1，因此y?0(x??1)，1?x2≥0，所以，函数既是偶函数，又是奇函数，故②错误；
对于③，命题“若x2?1，则x?1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”．故③错误；
对于④，特称命题的否定是全称命题，所以命题“?R，使得x2?x?1?0”的否定是“?x?R，都有x2?x?1≥0”，故④正确．
对于⑤，x2?x?2?0等价于x??2或x?1，所以“x?1”是“x2?x?2?0”的充分不必要条件，故⑤正确．
综上所述，正确的命题是①④⑤． 20．设A是整数集的一个非空子集，对于k?A，若k?1?A，且k?1?A，则称k是A的一个“孤立元”．给 定S??1,2,3,4,5,6,7,8?，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有__________个．【答案】6
【解析】要不含“孤立元”，说明这三个数必须连在一起，
故不含“孤立元”的集合有?1,2,3?，?2,3,4?，?3,4,5?，?4,5,6?，?5,6,7?，?6,7,8?共有6个．
三、解答题：（本题共6个解答题；共50分） 21．（本题满分6分）
?2?x?≥0?，B?x|x2?2x?3?0，C?x|x2?(2a?1)x?a(a?1)?0． 已知集合A??x?3?x?????（1）求集合A，B及A?B．
6
（2）若C?(A?B)，求实数a的取值范围． 【答案】见解析．
2?x≥0， 3?x∴(2?x)(3?x)≥0且x??3，
【解析】解：（1）∵解得：?3?x≤2， 故集合A??x|?3?x≤2?， ∵x2?2x?3?0， ∴(x?1)(x?3)?0， 解得?1?x?3，
故集合B??x|?1?x?3?， ∴A?B??x|?3?x?3?．
（2）由（1）可得集合A??x|?3?x≤2?，集合B??x|?1?x?3?，A?B??x|?1?x≤2?， ∵x2?(2a?1)x?a(a?1)?0， ∴(x?a)[x?(a?1)]?0， 解得a?x?a?1，
∴集合C??x|a?x?a?1?， ∵C?(A?B)，
?a≥?1∴?，解得?1≤a≤1，
a?1≤2?故实数a的取值范围是[?1,1]．
22．（本题满分6分）已知m?R，命题p:对任意x?[0,1]，不等式2x?2≥m2?3m恒成立；命题q:存在x?[?1,1]，使得m≤ax成立．
（1）若p为真命题，求m的取值范围．
（2）当a?1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围． 【答案】见解析．
【解析】解：（1）若p命题为真，则对任意x?[0,1]，不等式2x?2≥m2?3m恒成立， 即当x?[0,1]时，m2?3m≤(2x?2)min恒成立， ∵当x?[0,1]时，2x?2?[?2,0]， ∴m2?3m≤?2，即m2?3m?2≤0， 解得1≤m≤2，
即m的取值范围是[1,2]．
（2）当a?1时，若q命题为真，则存在x?[?1,1]， 使得m≤x成立，即m≤xmax成立，
故m≤1．
若p且q为假命题，p或q为真命题，则p，q一真一假， 若p真q假，则??1≤m≤2，得1?m≤2．
m?1? 7
?m?1或m?2若p假q真，则?，得m?1，综上所述，m的取值范围是(??,1)??1,2?．
m≤1? 23．（本题满分10分）已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)?f(2)?3．
（1）求f(x)的解析式．
（2）若f(x)在区间[2a,a?1]上不单调，求实数a的取值范围． ．．．
（3）在区间[?1,1]上，y?f(x)的图象恒在y?2x?2m?1的图象上方，试确定实数m的取值范围． 【答案】见解析．
【解析】解：（1）由已知f(x)是二次函数，且f(0)?f(2)得f(x)的对称轴为x?1， 又f(x)的最小值为2， 故设f(x)?a(x?1)2?1， ∵f(0)?3，
∴a?1?3，解得a?2，
∴f(x)?2(x?1)2?1?2x2?4x?3．
（2）要使f(x)在区间[2a,a?1]上不单调，则2a?1?a?1， ∴0?a?1， 2?1?即实数a的取值范围是?0,?．
?2?（3）若在区间[?1,1]上，y?f(x)的图象恒在y?2x?2m?1的图象上方， 则2x2?4x?3?2x?2m?1在[?1,1]上恒成立， 即m?x2?3x?1在[?1,1]上恒成立，
设g(x)?x2?3x?1，则g(x)在区间[?1,1]上单调递减， ∴g(x)在区间[?1,1]上的最小值为g(1)??1， ∴m??1，
故实数m的取值范围是(??,?1)． 24．（本小题满分10分）
?a,a≥b2amaxa,b?b?R??对、，记，函数f(x)?max|x|,?x?2x?4(x?R)． ??b,a?b??（1）求f(0)，f(?4)．
（2）写出函数f(x)的解析式，并作出图像．
y1O1x
（3）若关于x的方程f(x)?m有且仅有3个不等的解，求实数m的取值范围．（只需写出结论）
8