P（ξ=1）=P（ξ=2）=P（ξ=3）=P（ξ=4）=P （ξ=5）=
，
=， =
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
故Eξ=
．
19．如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°． （Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC； （Ⅱ）求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面PBD⊥平面PAC．【分析】（Ⅰ）推导出BD⊥AC，
（Ⅱ）以为x轴的正方向，为y轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二
面角D﹣PB﹣C的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）由ABCD是菱形可得BD⊥AC， 因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD，又PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，又BD?平面PBD， 故平面PBD⊥平面PAC．… 解：（Ⅱ）以
为x轴的正方向，
为y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，
，，
，即
．…
．…
．
， ．…
则O（0，0，0），B（0，1，0），设平面PBD的一个法向量由所以可取
，
，可得
同理可得平面PBC的一个法向量所以
故二面角D﹣PB﹣C的余弦值为．…
20．已知椭圆
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=4x于A，B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．
的离心率为，两焦点之间的距离为4．
【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由题意可得2c=4，
．则a=4，c=2．由b2=a2﹣c2=12，即可求得椭圆的标准
方程；
（Ⅱ）过（4，0）的直线方程为：x=my+4，代入抛物线y2=4x，由韦达定理可知：则
?
=x1x2+y1y1=0，即可求证OA⊥OB．
焦点在x轴上，
，
【解答】解：（Ⅰ）解：椭圆由题意可得2c=4，由b2=a2﹣c2=12， ∴椭圆标准方程为：
．…
．则a=4，c=2．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得椭圆的右顶点为（4，0）， 由题意得，可设过（4，0）的直线方程为：x=my+4．… 由
，消去x得：y2﹣4my﹣16=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则∴则
?
=0，则
⊥
．…
，
故OA⊥OB．…
21．已知函数
（a为常数，a≠0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（3，f（3））的切线方程 （Ⅱ）求f（x）的单调区间； （Ⅲ）若f（x）在x0处取得极值，且
求实数a的取值范围．（其中e为自然对数的底数）
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（3），f′（3）的值，求出切线方程即可；
，而f（x）≥0在[e+2，e3+2]上恒成立，
（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （Ⅲ）由（Ⅱ）知x0处有极值，求出
数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可． 【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，
（x＞2） ，f'（3）=﹣2.
，
，得到f（x）在[e+2，e3+2]上单调，根据函
所以，函数f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：
，即4x+2y﹣3=0．…
（Ⅱ）
因为x＞2，所以x﹣2＞0，
①当a＜0时，（x﹣1）2﹣（a+1）=x（x﹣2）﹣a＞0在x＞2上成立， 所以f'（x）当x＞2恒大于0， 故f（x）在（2，+∞）上是增函数．… ②当a＞0时，因为x＞2， 所以当当
，a（x﹣2）＞0，
时，f'（x）≤0，f（x）为减函数；
时，f'（x）≥0，f（x）为增函数．…
，
=
，
综上：当a＜0时，f（x）在（2，+∞）上为增函数； 当a＞0时，f（x）在
上为增函数，在
，
上为减函数．…
（Ⅲ）由（Ⅱ）知x0处有极值，故a＞0，且因为
且e+2＞2，
所以f（x）在[e+2，e3+2]上单调．…
当[e+2，e3+2]为增区间时，f（x）≥0恒成立，则有
．
当[e+2，e3+2]为减区间时，f（x）≥0恒成立，则有
解集为
空集．
综上：当a＞e6+2e3时满足条件．…
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.（共2小题，满分10分）
22．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为
，（t为参数）．在极坐标系（与直角
坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C与直线l相切，求实数a的值． 【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（I）利用 x=ρcosθ，y=ρsinθ可将圆C的极坐标方程ρ=4cosθ化为普通方程； （II）据点到直线的距离公式即可求出答案． 【解答】解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，… 结合极坐标与直角坐标的互化公式得x2+y2=4x， 即（x﹣2）2+y2=4 … （Ⅱ）由直线l的参数方程为结合圆C与直线l相切，得
23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣2|x﹣1|（m∈R） （1）当m=3时，求函数f（x）的最大值； （2）解关于x的不等式f（x）≥0．
【考点】函数的最值及其几何意义；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）通过令m=3，然后去绝对值符号，对于分段函数取最大值即可；
（2）通过对|x﹣m|≥2|x﹣1|两边平方，化简得[x﹣（2﹣m）][3x﹣（2+m）]≤0，比较2﹣m与
的大小，分类讨论即可．
，化为普通方程，得x﹣=2，解得a=﹣2或6．…
y﹣a=0．
【解答】解：（1）当m=3时，f（x）=|x﹣3|﹣2|x﹣1|，
即f（x）=，
∴当x=1时，函数f（x）的最大值f（2）=1+1=2； （2）∵f（x）≥0， ∴|x﹣m|≥2|x﹣1|，
两边平方，化简得[x﹣（2﹣m）][3x﹣（2+m）]≤0， 令2﹣m=
，解得m=1，
下面分情况讨论：
①当m＞1时，不等式的解集为[2﹣m，②当m=1时，不等式的解集为{x|x=1}； ③当m＜1时，不等式的解集为[
，2﹣m]．
]；