2018年高考模拟试卷（4）参考答案
数学Ⅰ
一、填空题：
1?i(1?i)(2?i)1?3i13??1．+i【解析】z?． 2?i(2?i)(2?i)5552．8【解析】由条件得A?B?{?1,0,2}，所以A?B的子集有8个．
3．10【解析】由题意可知S?1?3?3?3?10．
4．150【解析】设第一个小矩形面积为x，由6x?1，得x?1，从而样本容量为25?6?150．
6x2y25．x?y?1【解析】设双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，因为双曲线C的渐近线方
ab程为y??x，所以a?b，又因为一个焦点为(2,0)，所以c?2，所以a?b?1，所以双曲线
22C的方程为x2?y2?1
16．(??,?2]【解析】由已知得，()x?4?0，所以x??2
27．4【解析】由图知函数的周期为11??5??2??，所以??2??4．
?242422??38．【解析】从5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取2张组成两位数，共有205123种情况，要使1,2,3,4,5中的两个数组成两位奇数，有12种情况，所以其概率为?．
205111h11h19．【解析】因为V2?VC?PAB?S?PABh，V1?VE?ABD?S?DAB???S?PAB??V2，
43323224V1所以1?．
V24??????????????????????????????????????1????2C?AP210．【解析】因为BC?2BA?3BP，所以BC?BP?2(BP?BA)，即P，所以AP?AC，
33????????????1????????????????1????所以AD?AP?PD?AC??AB??AC??AB?(??)AC，又点D是BC的中点，所以
33????1????1????1112AD?AB?AC，所以??,???，所以????．
22232311．3049 【解析】an?1?an?3?2n?1，所以an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1) ?3?2n?1?2，所以?ai?3049．
i?11012．8【解析】因为a，b?R，a?b，2a2?ab?b2?4?0，所以(a?b)(2a?b)?4． 3高三数学试卷 第 6 页 共 14 页
令a?b?t，2a?b?4，t?0， 则a?1t?4，b?22?t，
t3t3t所以2a?b?4(t?1)≥4?2t?1?8，当且仅当t?1时取等号．
3t3t3所以2a?b的最小值为8．
313．35【解析】因为动圆C:(x?3)2?(y?b)2?r2（其中r2?b2?9）截x轴所得的弦长恒为4，
2222所以r2?b2?4，设P(x0,y0)，由已知条件得，9?b2?r2?x0，所以x0?y0?y0?5，即点P在
10?5?35． 圆x2?y2?5，所以点P到直线2x?y?10?0距离的最大值为5???14．?0,?【解析】f(k)?k?sin3??cos3???sin??cos?，题意即为f(k)≥0在???,?2? ?4???????上恒成立，即fmin(k)≥0．由于???0,2??，sin?≥0且cos?≥0，则???0,??．
?2???当???时，f(k)?0≥0恒成立，符合；
4当??(?,?]时，sin3??cos3??0，所以f(k)在???,?2?上单调递增，不符合；
42当??[0,?)时，sin3??cos3??0，所以f(k)在???,?2?上单调递减，
4此时fmin(k)?f(?2)??2?sin3??cos3???即2sin3??sin?≤2cos3??cos?．
令f(x)?2x3?x（x≥0），不等式即为f(sin?)≤f(cos?)，
?由于f?(x)?6x?1x2≥0，所以f(x)在?0,???上单调递增，
221?sin??cos?≥0，
?而当??[0,?)时，sin??cos?，所以f(sin?)≤f(cos?)恒成立．
4???综上所述，?的取值范围是?0,?．
?4?????15．解：（1）?m?(sinx，1)，n?(1，3cosx)，
2222???1x3x?f(x)?m?n?sin?cos ?? 2分
2222?sinxcosπ+cosxsinπ?sinx?π， ?? 4分
232323所以函数f(x)的最小正周期为T?2π?4π． ?? 6分
12????????1xx1（2）?m?(sin，)，n?(，3cos)，且m//n，
2222??高三数学试卷 第 7 页 共 14 页
xx11?sin?3cos???0， ?? 8分
2222
3?sinx?，
6?x?(0,?2)，?cosx?1?sin2x?1?(3233 ?? 10分 )?6633311??， ?? 12分 66635cos2x?1?2sin2x?1?2?()2?，
66131113511?53?f(4x)?sin2x?cos2x?????． ?? 14分
22262612 P16．证明：（1）如图，连接OQ， 因为AB//CD，AB?2CD，
所AO?2OC， ???2分 又PQ?2QC，
?sin2x?2sinx?cosx?2?QC所以PA//OQ， ????4分 又OQ?平面QBD， PA?平面QBD， 所以PA//平面QBD. ??? 6分
DHOA(第16题图) （2）在平面PAD内过P作PH?AD于H，
因为侧面PAD?底面ABCD，平面PAD?平面ABCD?AD， PH?平面PAD，所以PH?平面ABCD， ???????8分 又BD?平面ABCD，所以PH?BD， ???????10分 因为?PAD是锐角三角形，所以PA与PH不重合， 即PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，
又PA?BD，所以BD?平面PAD， ???????12分 又AD?平面PAD，所以BD?AD． ???????14分 17．解：连接EF,BE,OB,OG，
1?OE?OF?BC，?BC?EF，?BE?EO，
2?EG?FG，?OG?EF， ???2分 （1）在Rt?BEO中，BO?1，?AOB??， ?EO?cos?，BE?sin?，
?BC?EF?2cos?， ???4分
11?S?S梯形ABCD?S?EGF?(AD?BC)?BE?EF?OG
22?11?(2?2cos?)sin???2cos??1?sin?cos??sin??cos?，??(0,)． ???8分
222（2）令t?sin??cos?，??(0,)，
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?t2?1则sin?cos??，且t?2sin(??)?(1,2]， ???10分
42t2?1t211?S??t??t??(t?1)2?1，t?(1,2]， ???12分
22221?当t?2，即??时，Smax??2，
241即多边形ABCDFGE面积S的最大值为?2平方米． ???14分
20)和点(1，18．解：（1）因为椭圆经过点A(2，3e)，
?a?2，??19c2所以??2?1， ?? 2分
44b?222??b?c?a，
2y2x解得a?2，b?3，c?1， 所以椭圆的方程为??1． ?? 6分
43（2）解法一：由（1）可得F1(?1，0)，F2(1，0)， 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y?k(x?2)．
?y?k(x?2)，?由方程组?2y2 消去y，整理得(4k2?3)x2?16k2x?16k2?12?0，
x??1，?3?428k2?6，?12k?． ?? 8分 解得x?2或x?8k2?6，所以B点坐标为??2??4k?34k2?3?4k?3由OM?MA知，点M在OA的中垂线x?1上，
又M在直线l上，所以M点坐标为(1,?k)． ?? 10分 ??????????2k?4k2?9，?12k． 所以F1M?(2，?k)，F2B?8k2?6?1，?124k?34k2?34k2?34k2?3??????????8k2?1812k2220k?18?0． ?? 14分 若MF1?BF2，则F1M?F2B??2?224k?34k?34k?3????310310解得k2?9，所以k??，即直线l的斜率?． ?? 16分
1010100)，F2(1，0)， 解法二：由（1）可得F1(?1，22设B(x0,y0)（x0?2），则3x0?4y0?12 ①， ?? 8分
直线l:y?y0(x?2)， x0?2由OM?MA知，点M在OA的中垂线x?1上，
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?y又M在直线l上，所以M点坐标为1，0． ?? 10分
x0?2???????????y所以F1M?2，0，F2B?(x0?1，y0)，
x0?222??????????y02(x0?1)(x0?2)?y0??0， 若MF1?BF2，则F1M?F2B?2(x0?1)?x0?2x0?2????2所以y0?2(x0?1)(x0?2) ②， ?? 12分 2由①②可得11x0?24x0?4?0，即(11x0?2)(x0?2)?0，
610所以x0?2或x0?2(舍)，y0??．
1111y0310??310，即直线l的斜率?所以kl?． ?? 16分 x0?2101019．解：（1）当a=0时，f(x)?(x?1)ex，f?(x)?xex，
??)． ?? 3分 令f?(x)?0，得x?0，所以f(x)的单调增区间为(0，（2）f?(x)?x(ex?2a)，因为函数f(x)为R上的单调增函数，
所以f?(x)≥0在R上恒成立． ?? 5分 当x?0时，f?(x)?x(ex?2a)=0，f?(x)≥0显然成立；
当x?0时，f?(x)?x(ex?2a)≥0恒成立，则ex?2a≥0恒成立，此时a≥?1；
2当x?0时，f?(x)?x(ex?2a)≥0恒成立，则ex?2a≤0恒成立，此时a≤?1．
2综上，a??1． ?? 8分
2（3）不妨设x1?x2，当a?0时，f?(x)?x(ex?2a)， ??)上单调递增． 0)上单调递减，在(0，函数f(x)在(??，因为f(0)??1?0，所以x1?(??，0)，x2?(0，??)，?x2?(??，0)，?? 10分 f(x)在(??，0)上单调递减，所以要证x1?x2?0，即证x1??x2，
即证f(x1)?f(?x2)，又因为f(x1)?f(x2)，所以即证f(x2)?f(?x2)（*）．12分 ??)， 记g(x)?f(x)?f(?x)?(x?1)ex?(x?1)e?x，x?[0，高三数学试卷 第 10 页 共 14 页