x?(e2x?1)??)上恒成立， ，所以g?(x)≥0在[0，g?(x)?xe??)上为增函数， 所以函数g(x)在[0，又因为g(0)?0，x2?0，所以g(x2)?g(0)?0，
即f(x2)?f(?x2)?0，（*）式得证．所以，命题成立． ?? 16分
11?()n112?1?(1)n， ?? 2分 20．解:（1）因为an?n，所以Sn??21?12221131311所以an?1?Sn?()n?1?1?()n?()n?1???1???0，
2222224所以an?1?Sn，即?an??M． ?? 4分 （2）设?an?的公差为d，
因为?an?n??M，所以an?1?n?1?(a1?1)?(a2?1)???(an?1)（*），
特别的当n?1时，a2?2?a1?1，即d??1， ?? 6分
n(n?1)n(n?1)由（*）得a1?nd?n?1?na1?， d?22d?1231整理得n?(a1?d?)n?a1?1?0，
222d?1因为上述不等式对一切n?N*恒成立，所以必有?0，解得d??1，
2又d??1，所以d??1， ?? 8分 于是(a1?1)n?a1?1?0，即(a1?1)(n?1)?0， 所以a1?1?0，即a1??1，
所以2a5?a1?2(a5?a1)?a1?8d?a1??8?a1??9，
因此2a5?a1的取值范围是[?9,??)． ?? 10分
S（3）由an?1?Sn得Sn?1?Sn?Sn，所以Sn?1?2Sn，即n?1?2，
Sn所以
Sn?1S2S3S?×???n?1?2n，从而有Sn?1?S1?2n=a1?2n， S1S1S2Sn又an?1?Sn，所以an?2?Sn?1?a1?2n，即an?a1?2n?2(n?3)， 又a2?S1?a1?22?2，a1?a1?21?2， 所以有an?a1?2n?24n4n2， ?? 12分 (n?N)，所以?×ana1*4n假设数列?bn?（其中bn?）中存在无穷多项依次成等差数列，
an不妨设该等差数列的第n项为dn?b(b为常数)，
4m4m4*?×2??2n， 则存在m?N，m?n，使得dn?b?bm?ama1a1即da1n?ba1?2n?2， ?? 14分
高三数学试卷 第 11 页 共 14 页
n2设f(n)?n?2,n?N*,n?3，
2(n?1)2n22?(n?1)29则f(n?1)?f(n)?n?3?n?2?，即f(n?1)?f(n)?f(3)??1， ?032222n?3于是当n?3时，2n?2?n2，
从而有：当n?3时da1n?ba1?n2，即n2?da1n?ba1?0，
于是当n?3时，关于n的不等式n2?da1n?ba1?0有无穷多个解，显然不成立， 因此数列?bn?中是不存在无穷多项依次成等差数列． ?? 16分
数学Ⅱ（附加题）
21．A．证明：连接OD
因为DC为切线且点D为切点，所以?BDC??BAD 因为OA=OD
所以?OAD??ODA 又因为AD=DC
所以?BCD??OAD 故?OAD??BDC 所以BC=OD=R
从而AB=2BC ?????10分
?a2???2???2???3B．解：（1）由条件得，???1??1?， b1????????2a?2?6,?a??2,??，解得? ???2分 ?2b?1??3,b?2.????22?因为矩阵A???， 21??所以特征多项式为f??????2?2?2 ??1?(??2)???1??4??2???6， ???4分
令f????0，解得???3,??2．
所以矩阵A的另一个特征值为2． ???5分
?22?(?2)?1?2?2??6， ???7分 （2）因为det(A)?21?1??6?1 所以A???2???62??1??6??6????2??1?6????31?3??． ???10分 1?3??C．解：把曲线C的极坐标方程??22cos(??)化为直角坐标方程为：
4x2?y2?2x?2y?0，即(x?1)2?(y?1)2?2， ???2分
高三数学试卷 第 12 页 共 14 页
?
?曲线C表示的是圆心C(1,1)，半径为2的圆． ???4分
4?x??1?t??5(t为参数)化为普通方程 直线l的参数方程?3?y?1?t?5?为3x?4y?1?0， ???6分
6?圆心C到直线l的距离为， ???8分
536214?直线l被曲线C所截得的弦长为22?． ???10分 255（说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成） D．证明：由柯西不等式可知
11122?3y?1z?2)?[(2)?(2)?1x]2(2?y23z?) 323
(x?y?z)2242222x?3y?z?? 所以1111 ，
??1236412当且仅当x?,y?,z?时取等号． ???10分
111111(2x?11C3C4?C321?，所以事件A的发生的概率为1．?3分 22．解：（1）由已知有P(A)?233C101?2（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2． ???4分
21111C32?C32?C4C3C3?C3C474P(X?0)??P(X?1)??； ；221515C10C1011C3CP(X?2)?24?4 ． ???6分
15C10所以随机变量X的分布列为
X P 0 1 2 4 157 154 15 ???8分
数学期望E(X)?1． ???10分
2123．解：?2C4?14． ???2分 （1）P4(0)?P4(1)?P4(2)?P4(3)?0?0?C4111（2）P5(5)?C4[P3(3)?C3(P2(2)?C2)]?44． ???4分 kkk?1（3）证明：?Pn(n?k)?CnPn?k(n?k)，kCn?nCn?1，
高三数学试卷 第 13 页 共 14 页
?An??kPn(n?k)??kPn(n?k)?nPn(0)??kCnkPn?k(n?k)?nPn(0)
k?1k?1k?1nn?1n?1??nCk?1n?1k?1n?1n?kk?1P(n?k)?nPn(0)?n?Cn?1Pn?k(n?k)?nPn(0)，
k?1n?1?Pn?1(0)?Pn(0)?0
k?1Pn?1?k(n?1?k)?(n?1)Pn?1(0) ?An?1?(n?1)?Cnk?1k?1?(n?1)?CnPn?(k?1)(n?(k?1))?(n?1)Pn?1(0)
nnk?1n?1 ?(n?1)?CknPn?k(n?k)?nPn(0) k?0n?(n?1)?Pn(n?k)． k?0高三数学试卷 第 14 页 共 14 页
10分
???