已知A,B两点的垂直高度为25m.坡道在点B的切线方向与水平面成30°角，不计摩擦.求(1)运动员离开B处的速率vB，(2)B,C的垂直高度差h及沟宽d,(3)运动员到达平台时的速率
vc.
解：仅内保守力做功，机械能守恒
EA = EB = EC
（1）mghAB?12mv2B?vB?2ghAB?22.4m/s
?（2） vc?vBcos30,gt?vBsin30 t?h?12vBsin30t?6.28m
0??vBsin30g01.12s
d?vBCOS30?1.12?22.4?32?1.12?21.75m
（3）vc?vB0cos300?19.2m/s
4.5.2装置如图所示.球的质量为5kg,杆AB长1m,AC长0.1m,A点距O点0.5m,弹簧的劲度系数为800N/m,杆在水平位置时恰为弹簧自由状态,此时释放小球,小球由静止开始运动.求小球到铅直位置时的速度.不计弹簧质量及杆的质量,不计摩擦.
解：把球、杆、弹簧、地球看成一个系统
整个过程中系统只有内保守力做功，系统机械能守恒
mgAB?12mv2?12k?x
2Δx=0.1m,AB=1m,m=5kg,k=800N/m 得 v=4.28m/s
4.5.3物体Q与一劲度系数为24N/m 的橡皮筋连结,并在一水平圆环轨道上运动,物体Q在A处的速度为1.0m/s。已知圆环的半径为0.24m，物体Q的质量为5k。由橡皮筋固定端至B为0.16m,恰等于橡皮筋的自由长度求(1)物体Q的最大速度;(2) 物体Q能否达到D点,并求出在此点的速度.
解：研究对象《质点与橡皮筋》。支持力过圆心O不作功，在水平面运动，重力不作功
仅内保守力弹力做功，机械能守恒。B点为弹力势能的零点
122mm（1） 当?l=0时，既B点，物体的速度最大 mv2?1k(?l)2?E， v2?2E?k(?l)
2EPA?EKA?12mv122max
2EPA?EKA?k(OA?OB)?212mv2A
2
?12*24*(0.46?0.16)?12*5*1.0
?3.58J5（2）假设Q能到D点，则 EPA?EKA?EPD?EKD
EPA?EKA?12vmax?2?3.58m/s?1.2m/s
k(OD?OB)?212mv22D
12*5*vD2
?12*24*(0.64?0.16)?
?3.58JVD = 0.58 m/s，所以可以到达D点。
4.6.1卢瑟夫在一篇文章中写道:可以预言,当α粒子和氢原子相碰时,可使之迅速运动起来.按正碰撞考虑很容易证明.氢原子速度可达α粒子碰撞前速度的1.6倍,即占入射α粒子能量的64%,试证明此结论(碰撞是完全弹性的,且α粒子质量接近氢原子质量的四倍) .证明：Ek?12?14m1(1.6v10)2?12m1v10(214?1.6)?64%Ek0
24.6.2 m为静止车厢的质量,质量为M的机车在水平轨道上自右方以速率V滑行并与碰撞挂钩.挂钩后前进距离s然后静止.求轨道作用于车的阻力.
解：以两个车厢的系统为研究对象，挂钩时系统满足动量守恒
Mv?(M?m)v1
?fs?0?122(M?m)v122
则 f?Mv2s(M?m)
4.6.3两球具有相同的质量和半径,悬挂于同一高度.静止时,两球恰好能接触且悬线平行,碰撞的恢复系数为 e,若球A自高度h1释放,求该球弹回后能达到的高度.又问若二球发生完全弹性碰撞,会发生什么现象,试描述之. 解：恢复系数：e?v2?v1v10?v20（
），v20?0
1） 由动量守恒m1v10?m1v1?m2v2
由机械能守恒联立得 v1?所以 h?v112212m1v102?m1gh1
(1?e)v10
2g?h114(1?e)
22） 在完全弹性碰撞中，两球交换速度，则摆的高度相同。
4.6.4质量为2g的子弹以500m/s的速度射向质量为1kg用1m长的绳子悬挂着的摆.子弹穿过摆后仍有100m/s的速度.问摆沿铅直方向升起若干. 解：分两个阶段考虑
1） 子弹射入摆并穿过，水平方向动量近似守恒： m1v10?m1v1?m2v2 可得 v2?m1(v10?v1)m2?2?10?3(500?100)1m/s?0.8m/s
2） 摆的上升：由机械能守恒
v2212m2v22?m2gh
可得h?2g?0.822?10m?0.032m
4.6.5一质量为200g的框架,用一弹簧悬挂起来,使弹簧伸长10cm.今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落进框架.求此框架向下移动的最大距离.弹簧质量不计.
解：参考系《地面》
坐标系：以框架平衡位置为原点建O-X
1） m1自由下落阶段
研究对象《m1与地球》
仅内保守力做功，机械能守恒 m1gh?12m1v0?v0?22gh
2）研究对象《m1与m2》 碰撞过程无限短，内力》外力 而m1?m2,m1v0?(m1?m2)v v?12v0?122gh
3) 碰后铅快与框架一起下落过程
研究对象《m1+m2,地球，弹簧》 仅内保守力做功，机械能守恒
以o点为重力势能零点，弹簧自由伸展状态为弹性势能零点， E0?12(m1?m2)v?21212k(?l0) k(?l0?xm)
22 E??(m1?m2)gxm?k?m1g?l0,E?E0
xm?0.3m4.6.6质量为m1=0.790kg和m2=0.800kg的物体以劲度系数为10N/m的轻弹簧相连,置于光滑水平桌面上.最初弹簧自由伸张.质量为0.01kg的子弹以速率v=100m/s沿水平方向射于m1内,问弹簧最多压缩了多少? 解：第一阶段：子弹射入m1 研究对象《m1，m》
碰撞时间无限短，此时弹簧压缩很小，可忽略，系统动量守恒： mv0?(m?m1)v1
第二阶段：一起运动
研究对象《m1+m, m2，弹簧》 仅内保守力做功，系统机械能守恒
12(m1?m)v1?212k(?x)?212(m1?m?m2)v2
2动量守恒：(m?m1)v1?(m?m1?m2)v2 解得 Δx = 0.25 m
4.6.7一10g的子弹沿水平方向以速率110m/s击中并嵌入质量为100g小鸟体内，小鸟原来站在离地面4.9m高的树枝上，求小鸟落地处与树枝的水平距离。 解：由动量守恒 mv10?(m1?m2)v1 v1?m1v10(m1?m2)?0.01?1100.11m/s?10m/s
落地所需时间：t?2hg?2?4910?0.72s
水平距离 l?v1t?10?0.72m?12.11m
4.6.8在一铅直平面内有一光滑的轨道,左边是一个上升的曲线,右边是足够长的水平直线,二者平滑连接,现有A,B两个质点,B在水平轨道上静止,A在曲线部分高h处静止滑下,与B发生完全弹性碰撞.碰后A仍可返回上升到曲线轨道某处,并再度滑下,已知A,B二质点的质量分别为m1和m2.求A,B至少发生两次碰撞的条件. 解：第一阶段：A下滑，
研究对象《A，地球》
仅内保守力做功，系统机械能守恒
m1gh?12m1v0?v0?22gh
第二阶段：A与B发生完全弹性碰撞，
研究对象《A，B》
动量守恒：m1v10?m1v1x?m2v2x
动能守恒：
12m1v102?12m1v1x?212m2v2x
2v1x??v1,v2x?v2
解得：v1? v2?m2?m1m2?m12m1m2?m12gh 2gh
第三阶段：A返回某高度又滑下，仍满足机械能守恒，返回后的速度仍为v1，只要v1?v2就能再碰。
m2?m12m12gh?2gh
m2?m1m2?m1m2?3m1
4.6.9一刚球静止的方在铁箱的光滑底面上,如图示.CD长L铁箱与地面间无摩擦.铁箱被加速至v0时开始做匀速直线运动.后来刚球与箱壁发生完全弹性碰撞.问碰后再经过多长时间刚球与BD壁相碰 解：研究对象
Mv0?Mv1x?mv2x1动量守恒,动能守恒 12v1x?v2x?M?mM?m2MM?mv0 v0
Mv0?212Mv1x?212mv2x2
车与箱的相对速度：v12?|v1x?v2x|?|?M?mM?mv0|?v0
所以，再次相碰：t = L/v0
4.6.10二车厢质量均为M.左边车厢与其地板上质量为M的货箱共同向右以v0运动.另一车厢以2v0从相反方向向左运动并与左车厢碰撞挂钩,货箱在地板上滑行的最大距离为L. 求: (1)货箱与车厢地板间的摩擦系数; (2)车厢地间摩擦.
在挂钩后走过的距离,不计车