【答案】 4
【KS5U解析】因为△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，所以△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为9π，所以圆的半径为3， 所以
pp??3,即p?4。 24三．（本大题共70分；将过程写在答题卡相应的位置，要有必要的推演步骤）
17.（本题满分10分）在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 已知
ac?，
3cosAsinC（1）求A的大小；
（2）若a?6，求?ABC的周长的取值范围.
18．（本题满分12分）命题p：不等式|x?1|?|x?3|?a对一切实数x都成立；命题q：函数f(x)?x3?2x2在[a,a?1]上单调递减。若命题p或q为真，求实数a的取值范围。
19．（本题满分12分）已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60，且a6为a1和a21
的等比中项.
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若数列{bn}满足bn?1?bn?an(n?N?),且b1?3,求数列{
3x2y220．（本题满分12分） 设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F, 离心率为, 过点F且
3ab43与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
3(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若
1}的前n项和Tn. bn
AC·DB?AD·CB?8, 求k的值.
21．（本题满分12分）已知f(x)?x?与曲线y?g(x)相切．
（1）若对[1,??)内的一切实数x，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围； （2）当a?1时，求最大的正整数k，使得任意k个实数x1,x2,?,xk?[e,3]（e?2.71828???是自然对数的底数）都有f(x1)?f(x2)???f(xk?1)?16g(xk)成立；
22．（本题满分12分）如图，已知抛物线C：y2?2px和⊙M：(x?4)2?y2?1，过
a(a?0)，g(x)?2lnx?bx，且直线y?2x?2x抛物线C上一点H(x0,y0)(y0?1)作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当?AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
17． 4（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．
天水一中2011级（高三）2013-2014学年第一学期第三阶段考试
理科数学答案
一．DBCAC ADADA DB
二．13. 22 14. 4－2ln2 15. 26 16. 4 三．17.解：（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，a3cosA?ca ?sinCsinA从而sinA?3cosA，tanA?3 ∵0?A??，∴A??3．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
从而?ABC的周长的取值范围是(12,18].．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 由已知：b?0,c?0，b?c?a?6
由余弦定理得：36?b2?c2?2bccos∴（(b?c)2?4?36，又b?c?6，
∴6?b?c?12，从而?ABC的周长的取值范围是(12,18].．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18.。a<2
19.解：（1）设数列{an}的公差是d，则S6?6a1?① 2a1?5d?20即(a1? ② a62?a1?a21，5d)2?a1?(a1?20)d由①②解得a1?5,d?2 ?an?5?(n?1)?2?2n?3 bn?1?bn?2n?3
11111累加，得bn?n2?2n ??(?)
bnn(n?2)2nn?2?31?(b?c)2?3bc?(b?c)2?(b?c)2?(b?c)2
4436?5d?6a1?15d?60，即2111111Tn?(1??????23243520.解析：（Ⅰ）设F圆方程得
?y=±
?
,由
3n2?5n111111?)?(1???)? nn?222n?1n?24(n?1)(n?2),?a=
,过点F且与x轴垂直的直线为x=?c，代入椭
?b=，a=，c=1?
（Ⅱ）设点， CD方程为y=k联立方程
?，?，又
所以
=6
?2=6+ ?6+=8?k=±
21.解：（1）设点(x0,y0)为直线y?2x?2与曲线y?g(x)的切点，则有
2lnx0?bx0?2x0?2． （*）
22?g?(x)??b，??b?2． （**）
xx0由（*）、（**）两式，解得b?0，g(x)?2lnx． 1分
a由f(x)?g(x)整理，得?x?2lnx，
x?x?1，?要使不等式f(x)?g(x)恒成立，必须a?x2?2xlnx恒成立． 2分
12设h(x)?x?2xlnx，h?(x)?2x?2(lnx?x?)?2x?2lnx?2，
x2?h??(x)?2?，?当x?1时，h??(x)?0，则h?(x)是增函数，
x?h?(x)?h?(1)?0，h(x)是增函数，h(x)?h(1)?1，a?1．
因此，实数a的取值范围是0?a?1． 4分 （2）当a?1时，f(x)?x?1， x?f?(x)?1?18?0f(3)??f(x)f(x)[e,3][e,3]，在上是增函数，在上的最大值为． 23x要对[e,3]内的任意k个实数x1,x2,?,xk都有f(x1)?f(x2)???f(xk?1)?16g(xk) 成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
?当x1?x2???xk?1?3时不等式左边取得最大值，xk?e时不等式右边取得最小值．
?(k?1)?8?16?2，解得k?13．因此，k的最大值为13． 8分 3p1722、解（1）∵点M到抛物线准线的距离为4??，
241∴p?，即抛物线C的方程为y2?x．----------------------------------------------2分
2（2）法一：∵当?AHB的角平分线垂直x轴时，点H(4,2)，∴kHE??kHF， 设E(x1,y1)，F(x2,y2)， ∴
yH?y1y?y2yH?y1yH?y2， ∴ 2， ??H??22xH?x1xH?x2yH?y12yH?y2∴
y1?y2??2yH??4． kEF?分
y2?y1y2?y111．---------------------------6?2???x2?x1y2?y12y2?y14法二：∵当?AHB的角平分线垂直x轴时，点H(4,2)，∴?AHB?60?，可得kHA?3，
kHB??3，∴直线HA的方程为y?3x?43?2，
联立方程组??y?3x?43?22，得3y?y?43?2?0， 2y?x?3 ∴yE?3∵yE?2?3?613?43，xE?． 33同理可得yF?1?3?613?43，xF?，∴kEF??．---------------------------6分
433（3）法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)，∵kMA?y14?x1，∴kHA?，
y1x1?4可得，直线HA的方程为(4?x1)x?y1y?4x1?15?0， 同理，直线HB的方程为(4?x2)x?y2y?4x2?15?0，
∴(4?x1)y0?y1y0?4x1?15?0，(4?x2)y0?y2y0?4x2?15?0，
22∴直线AB的方程为(4?y0)x?y0y?4y0?15?0，
22令x?0，可得t?4y0?∵
t15(y0?1)， y0函
数
在
关于
y0的[1,??)单调递增， ∴
tmin??11．------------------------------12分
法二：设点H(m2,m)(m?1)，HM2?m4?7m2?16，HA2?m4?7m2?15． 以H为圆心，HA为半径的圆方程为(x?m2)2?(y?m)2?m4?7m2?15， ................ ① ⊙M方程：(x?4)2?y2?1． ............................................................................................ ② ①-②得：
直线AB的方程为(2x?m2?4)(4?m2)?(2y?m)m?m4?7m2?14．
当x?0时，直线AB在y轴上的截距t?4m?15(m?1)， m∵t关于m的函数在[1,??)单调递增， ∴tmin??11． ------------------------12