三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知圆锥AO的底面半径为2，母线长为210，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为 圆心，D是AB的中点，且?BOC?（1）求圆锥的全面积；
（2）求直线CD与平面AOB所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）
【解析】（1）圆锥的底面积S1??r2?4? ……………3分 圆锥的侧面积S2??rl?410?……………3分 圆锥的全面积S?S1?S2?4(1?10)?……………1分 （2）Q?BOC??2.
?2 ?OC?OB 且OC?OA，OC?平面AOB ……………2分
??CDO是直线CD与平面AOB所成角 ……………1分
在RtVCDO中，OC?2,OD?10, ……………1分
1010,??CDO?arctan ……………2分 5510所以，直线CD与平面AOB所成角的为arctan……………1分
5tan?CDO?
18. 在?ABC中，边a、b、c分别为角A、B、C所对应的边.
2c(2a?b)sinA（1）若?0，求角C的大小； (2b?a)sinB1?sinC(2a?b)sinA（2）若sinA?42?，C?，c?3，求?ABC的面积. 53【解析】（1）由题意，2csinC??2a?b?sinA??2b?a?sinB；……………2分 由正弦定理得2c2??2a?b?a??2b?a?b，∴c?a?b?ab，……………2分
222?a2?b2?c21?，∴C?；……………2分 ∴cosC?32ab24ac8?（2）由sinA?，c?3，且，∴a?；…………2分
5sinAsinC52?3由a?c?A?C?，∴cosA?,…………2分
5333?4∴sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC?；…………2分
10118?83 ∴S?ABC?casinB?…………2分
22519. 已知双曲线C:x2?y2?1.
（1）求以右焦点为圆心，与双曲线C的渐近线相切的圆的方程；
（2）若经过点P(0,?1)的直线与双曲线C的右支交于不同两点M、N，求线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围.
【解析】（1）F2(2,0)…………1分 渐近线 x?y?0………1分
R?1…………2分 (x?2)2?y2?1………………2分
（2）设经过点B的直线方程为y?kx?1,交点为M(x1,y1),N(x2,y2)………………1分
?k2?1,??0?x?y?1??(1?k2)x2?2kx?2?0…1分 则?x1?x2?0?1?k?2…2分 ??y?kx?1?xx?0?12?k?111kMN的中点为(,)l:y???(x?)…1分 ，…1分 得中垂线22221?k1?k1?kk1?k?22??2………………2分 令x?0得截距t?1?k2k2?122即线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围是(2,??).
20. 已知函数y?f(x)定义域为R，对于任意x?R恒有f(2x)??2f(x). （1）若f(1)??3，求f(16)的值；
（2）若x?(1,2]时，f(x)?x2?2x?2，求函数y?f(x)，x?(1,8]的解析式及值域； （3）若x?(1,2]时，f(x)??|x?小值.
【解析】（1）Qf(1)??3且f(2x)??2f(x)
3|，求y?f(x)在区间(1,2n]，n?N*上的最大值与最 2?f(2)??3?(?2)……………1分 ?f(22)??3?(?2)2……………1分
?f(23)??3?(?2)3………1分 ?f(16)?f(24)??3?(?2)4??48……1分
（2）
xf(2x)??2f(x)?f(x)??2f()，
2x?(1,2]时，f(x)?x2?2x?2?(x?1)2?1，f(x)?(1,2]……………1分
xx1x?(2,4]时，f(x)??2f()??2[(?1)2?1]??(x?2)2?2，……………1分
222f(x)?[?4,?2)……………1分
x1x1x?(4,8]时，f(x)??2f()??2[?(?2)2?2]?(x?4)2?4，……………1分
2224f(x)?(4,8]……………1分
??(x?1)2?1,x?(1,2]??121，2](4,8]……………1分 得：f(x)???(x?2)?2,x?(2,4]，值域为[?4,?2)（2??1(x?4)2?4,x?(4,8]??4x（3）f(2x)??2f(x)?f(x)??2f()
2x32当x?(1,2]时，f(x)??x?得：当x?(2,2]时，f(x)??2f()?x?3……1分
22xn?1n当x?(2,2]时，n?1?(1,2]，
2xxxx3f(x)??2f()?(?2)2f(2)?L(?2)n?1f(n?1)??(?2)n?1n?1??(?1)nx?3?2n?2…………
22222…2分
2n当x?(2,2]，n为奇数时，f(x)??x?3?2?[?,0]
42nn?1nn?2当x?(2,2]，n为偶数时，f(x)?x?3?2?[0,]
41综上：n?1时，f(x)在(1,2]上最大值为0，最小值为?……………1分
22n2nnn?2，n为偶数时，f(x)在(1,2]上最大值为，最小值为?……………1分
482n2nnn?3，n为奇数时，f(x)在(1,2]上最大值为，最小值为?……………1分
84n?1nn?2
21. 已知数列{an}中a1?1，前n项和为Sn，若对任意的n?N*，均有Sn?an?k?k（k是常数，且k?N*）成立，则称数列{an}为“H(k)数列”.
（1）若数列{an}为“H(1)数列”，求数列{an}的前n项和Sn；
22)数列”（2）若数列{an}为“H(，且a2为整数，试问：是否存在数列{an}，使得|an?an?1an?1|?40对一切n?2，n?N*恒成立？如果存在，求出这样数列{an}的a2的所 有可能值，如果不存在，请说明理由；
（3）若数列{an}为“H(k)数列”，且a1?a2?????ak?1，证明：an?2k?(1?【解析】（1）数列?an?为“H?1?数列”，则Sn?an?1?1，故Sn?1?an?2?1， 两式相减得：an?2?2an?1， …………………1分
又n?1时，a1?a2?1，所以a2?2?2a1，………………1分
1n?k). 2k?1故an?1?2an对任意的n?N*恒成立，即
an?1， ?2（常数）
an故数列?an?为等比数列，其通项公式为an?2n?1,n?N*；………………1分
Sn?2n?1,n?N*………………1分
?Sn?an?2?2（2）??an?1?an?3?an?2?an?3?an?2?an?1(n?N*)
S?a?2n?3?n?1?an?2?an?1?an(n?2,n?N*)………………1分
当n?2,n?N时，an?1?anan?2?an?1?an?an?1?an??an?1(an?1?an)?an*222
因为an?1?an?an?1,(n?3,n?N*)，则an?12?anan?2?an?1an?1?an2,(n?3,n?N*)；
22*则an?1?anan?2?an?an?1an?1,(n?3,n?N)………………2分
22*则an?an?1an?1?a3?a2a4(n?3,n?N)，因为a4?a3?a2
则
an2?an?1an?1?a32?a2a3?a22(n?3,n?N*)………………1分
22因为S1?a3?2,a1?1?a3?3，则9?3a2?a2?40，且n?2时，a2?3?40，
解得：a2?0,?1,?2,?3,?4,?5,?6………………2分
??an?k?Sn?k*?a?a?a(n?2,n?N)…………1分（3）?n?kn?k?1n* ??an?1?k?Sn?1?k(n?2,n?N)ak?1?S1?k?0，由归纳知，ak?2?0,L,?an?0，…………1分
a1?a2?L?ak?1,ak?1?k?1，由归纳知，an?an?1,(?n?N*)，…………2分
则an?k?an?k?1?an?an?k?1?an?k?1?2an?k?1(n?2,n?N*)
an?k?2an?k?1(n?2,n?N*)…………1分
111an?k?1?2an?k?2?L?k?1an?2k?1,(n?N*)…………1分
2221*于是an?2k?an?2k?1?an?k?(1?k?1)an?2k?1,(n?N) 21n?1*于是an?2k?(1?k?1)a2k,(n?N)…………1分
2111a2k?Sk?k?2k，∴an?2k?(1?k?1)n?1?2k?(1?k?1)n?k?1,(2k?(1?k?1)?k)…1分
222?an?k?结论显然成立.