4.2 某工业系统准备实行一项改革措施。该系统共有87个单位，现采用整群抽
样，用简单随机抽样抽取15个单位做样本，征求入选单位中每个工人对政策改革措施的意见，结果如下： 单位 总人数 赞成人数 1 51 42 2 62 53 3 49 40 4 73 45 5 101 63 6 48 31 7 65 38 8 49 30 9 73 54 10 61 45 11 58 51 12 52 29 13 65 46 14 49 37 15 55 42 （1） 估计该系统同意这一改革人数的比例，并计算估计标准误差。 （2） 在调查的基础上对方案作了修改，拟再一次征求意见，要求估计比例的允
许误差不超过8%，则应抽取多少个单位做样本?
解：题目已知N?87，n?15，f?1）由已知估计同意改革的比例
n15 ?N87??p?yi?1ni?1ni?i?M1M?nn646?0.709 911?Mi?1i?60.733
11?f1n?)?2?Mi)2?0.008687 v(p(yi?pnn?1i?1M?此估计量的标准差为
?)?v(p?)?0.008687?0.9321 s(p
4.3 某集团的财务处共有48个抽屉，里面装有各种费用支出的票据。财务人员
欲估计办公费用支出的数额，随机抽取了其中的10个抽屉，经过清点，整理出办公费用的票据，得到下表资料： 抽屉编号 票据数Mi 费用额（yi，百元） 1 42 83 2 27 62 3 38 45 4 63 112 5 72 96 6 12 58 7 24 75 8 14 58 9 32 67 10 41 80 要求以95%的置信度估计该集团办公费用总支出额度置信区间（?=0.05）。
nnn10解：已知N=48, n=10, f=?, 由题意得?yi?736，?Mi?365，
N48i?1i?1Nn48?则办公费用的总支出的估计为Y??yi??736?3532.8（元）
ni?1101n1群总和均值y??yi??736?73.6（元）
ni?110?)?N(1?f)?v(Yn2?(yi?1ni?y)2n?1
10)(83?73.6)2?(62?73.6)2?...?(80?73.6)248= ?1091= 182.4??3590.4
9= 72765.44 482?(1??)=269.7507 v(Y?的置信度为95%的置信区间为3532.8?1.96?269.7507，即[3004.089，则Y4061.511].
4.4 为了便于管理，将某林区划分为386个小区域。现采用简单随机抽样方法，
从中抽出20个小区域，测量树的高度，得到如下资料： 数目株数平均高度数目株数平均高度区域编号 区域编号 Mi Mi yi（尺） yi（尺） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 42 51 49 55 47 58 43 59 48 41 6.2 5.8 6.7 4.9 5.2 6.9 4.3 5.2 5.7 6.1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 60 52 61 49 57 63 45 46 62 58 6.3 6.7 5.9 6.1 6.0 4.9 5.3 6.7 6.1 7.0 估计整个林区树的平均高度及95%的置信区间。
解：由已知得N?386，n?20，f?n20??0.0518 N3866180.8?5.909 1046整体的平均高度Y?y???Mi?1ni-1niyi?i?M1M?n?Mi?1ni?52.3
n方差估计值v(Y)?v(y)??0.02706
?1?fnM2?(yi?1i?Miy)2n?1
标准方差s(Y)?v(Y)?0.02706?0.1644
在置信度95%下，该林区的树木的平均高度的置信区间为
??（Y?t?/2?s(Y)）?(5.909?1.96?0.1644)?(5.5868,6.2312)
??4.5 某高校学生会欲对全校女生拍摄过个人艺术照的比例进行调查。全校共有女
生宿舍200间，每间6人。学生会的同学运用两阶段抽样法设计了抽样方案，从200间宿舍中抽取了10间样本宿舍，在每间样本宿舍中抽取3位同学进行访问，两个阶段的抽样都是简单随机抽样，调查结果如下表： 样本宿舍 拍照人数 样本宿舍 拍照人数 1 2 6 1 2 0 7 0 3 1 8 1 4 2 9 1 5 1 10 0 试估计拍摄过个人艺术照的女生比例，并给出估计的标准差。 解：题目已知N?200，n?10，M?6，m?3，f1?n10m??0.05，f2??0.5 N200M??p?yi?1ninm?9?0.3 10?311?f1?)?2?v(p?nn?1m?(yi?1ni?p?m)?0.005747
?)?v(p?)?0.005747?0.0758 s(p在置信度95%下，p的置信区间为
??t?/2v(p?))=(0.3?1.96?0.0758)?(0.151432,0.448568） (p
4.6 上题中，学生会对女生勤工助学月收入的一项调查中，根据以往同类问题的
调查，宿舍间的标准差为S1=326元，宿舍内同学之间的标准差为S2=188元。以一位同学进行调查来计算，调查每个宿舍的时间c1为1分钟，为了调查需要做各方面的准备及数据计算等工作，所花费的时间为c0是4小时，如果总时间控制在8小时以内，则最优的样本宿舍和样本学生是多少？
解：由已知条件得到以下信息：
S1?326（元）S2?188（元）c1?10（分钟）c2?1（分钟）c0?4?60?240（分钟） 由此得到
2S1?106276，
S22?35344，
S2u2S235344?S1??106276??100385.33
M6mopt?S2c18810?1???1.82 S1c23261因而取最优的m?2，进一步计算nopt 由于总时间的限制C?480，由关系式
C?c0?c1n?c2nm得到480?240?10nopt?2nopt
计算方程得到nopt?20，因而取n?20
则最优的样本宿舍数为20间，最优样本学生数为2。