28、（2010?成都中考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣3，0），若将经过A、C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x=﹣2．
（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段AC上一点，设△ABP、△BPC的面积分别为S△ABP、S△BPC，且S△ABP：S△BPC=2：3，求点P的坐标； （3）设⊙Q的半径为1，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切．
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考点：二次函数综合题。 专题：压轴题；分类讨论。 分析：（1）根据“过A、C两点的直线y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点”，即可得到c﹣3=0，由此可得到C点的坐标，根据A、C的坐标即可求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴及A、C的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由于△ABP和△BPC等高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，由此可求出AP、PC的比例关系，过P作x轴的垂线，通过构建的相似三角形的相似比即可求出P点的坐标； （3）①此题要分成两种情况讨论： 一、⊙Q与x轴相切，可设出Q点的横坐标，根据抛物线的解析式表示出它的纵坐标，若⊙Q与x轴相切，那么Q点的纵坐标的绝对值即为⊙Q的半径1，由此可列方程求出Q点的坐标； 二、⊙Q与y轴相切，方法同一； ②若⊙Q与x、y轴都相切，那么Q点的横、纵坐标的绝对值相等，可据此列方程求出Q点的坐标，进而可得到⊙Q的半径． 解答：（1）解：（1）∵y=kx+b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点， ∴b=3，C（0，3）．
将A（﹣3，0）代入y=kx+3， 得﹣3k+3=0．
解得k=1． ∴直线AC的函数表达式为y=x+3． ∵抛物线的对称轴是直线x=﹣2 ∴错误！未找到引用源。， 解得错误！未找到引用源。；
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∴抛物线的函数表达式为y=x+4x+3； （2）如图，过点B作BD⊥AC于点D．
∵S△ABP：S△BPC=2：3， ∴错误！未找到引用源。 ∴|AP|：|PC|=2：3． 过点P作PE⊥x轴于点E， ∵PE∥CO， ∴△APE∽△ACO， ∴错误！未找到引用源。， ∴错误！未找到引用源。 ∴错误！未找到引用源。， 解得错误！未找到引用源。 ∴点P的坐标为错误！未找到引用源。； （3）（Ⅰ）假设⊙Q在运动过程中，存在⊙Q与坐标轴相切的情况．
设点Q的坐标为（x0，y0）． ①当⊙Q与y轴相切时，有|x0|=1，即x0=±1．
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当x0=﹣1时，得y0=（﹣1）+4×（﹣1）+3=0，∴Q1（﹣1，0）
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当x0=1时，得y0=1+4×1+3=8，∴Q2（1，8） ②当⊙Q与x轴相切时，有|y0|=1，即y0=±1
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当y0=﹣1时，得﹣1=x0+4x0+3，
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即x0+4x0+4=0，解得x0=﹣2， ∴Q3（﹣2，﹣1）
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当y0=1时，得1=x0+4x0+3，
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即x0+4x0+2=0，解得错误！未找到引用源。， ∴错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。． 综上所述，存在符合条件的⊙Q，其圆心Q的坐标分别为Q1（﹣1，0），Q2（1，8），Q3（﹣2，﹣1），错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。． （Ⅱ）设点Q的坐标为（x0，y0）．