图6–3 DFT对连续信号作谱分析
图6–3从上到下截取的长度依次分别是N,4N,8N，由于截断使原频谱中的单频谱线展宽（也成为“泄露”），截取的长度越长，泄露越少，频率分辨越高。当截取长度为N (Tp为0.04s)时，25Hz和50Hz两根谱线已经分辨不清楚了。另外，在本来应该为零的频段上出现了一些参差不齐的小谱包，成为谱间干扰，其大小取决于加窗的类型。
四、实验内容
1．用快速卷积法计算x(n)?0.2R5(n)，h(n)?sin(0.2n)R8(n)两个序列的卷积。 2．对模拟周期信号x6(t)n?cos8?t?cos16?t?cos20?t进行谱分析，选择采样频
率fs?64Hz，变换区间N?16,32,64三种情况进行谱分析。分别画出其幅频特性，并进行分析和讨论。
五、实验要求
1．在实验报告中写出完整的自编程序，并给出实验结果。要求自编实验程序不能只采用两种方法中的一种。
2．实验结果用图像打印显示，结果分析要详细。
3．在绘制图形时要求图形的完整性，每个图形都要有图标标示。 4．在绘制图形时，坐标最好要一致，以方便对比。
五、思考题
1．两种求卷积的方法得到的卷积结果都会一致吗？
2．对连续时间信号进行谱分析时是否有误差存在，如果有那造成误差的原因有哪些？ 3．实验内容2中的采样频率fs变化时，信号的频谱会有什么变化？
实验7 IIR数字滤波系统设计及分析
一、实验目的
1．加深对无限长单位冲击响应数字滤波器的理解
2．加深对无限长单位冲击响应数字滤波器的设计步骤 3．掌握使用MATLAB进行IIR滤波器设计的两种方法 4．掌握使用MATLAB绘制滤波器幅频特性的两种形式
二、实验方法与示例
1．MATLAB设计IIR数字滤波器相关文件
（1）buttord.m ：用来确定数字低通或模拟低通滤波器的阶次
[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs) ① [N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,?s?) ②
格式①对应数字滤波器，式中Wp,Ws分别上通带和阻带的截止频率，实际上它们是归一化频率，其值在0~1之间，1对应采样频率的一半。对低通和高通滤波器，Wp,Ws都是标量，对带通和带阻滤波器，Wp,Ws都是1?2的向量。Rp,Rs分别是通带和阻带的衰减，单位为dB。N是求出的相应低通滤波器的阶次，Wn是求出的3dB频率，它和Wp稍有不同。
格式②对应模拟滤波器，式中各个变量的含义与格式①相同，但Wp,Ws及Wn的单位为rad/s，因此，它们实际上是频率。
（2）buttap.m：用来设计模拟低通原型滤波器G(p)
[z,p,k]=buttap(N)
N是欲设计的低通原型滤波器的阶次，z、p和k分别是设计出的G(p)的极点、零点及增益。 （3）lp2lp.m，lp2hp.m，lp2bp.m，lp2bs.m：用来将模拟低通原型滤波器G(p)分别转换为低通、高通、带通、及带阻滤波器
[B,A]=lp2lp(b,a,Wo) 或 [B,A]=lp2hp(b,a,Wo) ① B,A]=lp2bp(b,a,Wo,Bw) 或 [B,A]=lp2bs(b,a,Wo,Bw) ②
式中b，a分别是模拟低通原型滤波器G(p)有分子、分母多项式的系数向量，B，A分别是转换后的H?s?有分子、分母多项式的系数向量；在格式①中，Wo是低通或高通滤波器的截止频率；在格式②中Wo是带通或带阻滤波器的中心频率，Bw是其带宽。 （4）bilinear.m：实现双线性变换，即由模拟滤波器H?s?得到数字滤波器
[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs)
式中B、A分别是H?s?的分子、分母多项式的系数向量；Bz、Az分别是H?z?的分子、分母多项式的系数向量，Fs是采样频率。
（5）butter.m：用来直接设计巴特沃兹数字滤波器
实际上它把buttord.m，buttap.m，lp2lp.m及bilinear.m等文件都包含进去，从而使设计过程更简捷。
[B,A]=butter(N,Wn) ① [B,A]=butter(N,Wn,?high?) ② [B,A]=butter(N,Wn,?stop?) ③ [B,A]=butter(N,Wn,?s?) ④
格式①~③用来设计数字滤波器，B、A分别是H?z?的分子、分母多项式的系数向量，Wn是通带截止频率，范围在0~1之间，1对应采样频率的一半。若Wn是标量，则格式①用来设计低通数字滤波器。若Wn是1?2的向量，则格式①用来设计数字带通滤波器；格式②用来设计数字高通滤波器；格式③用来设计数字带阻滤波器；格式④用来设计模拟滤波器。
2．MATLAB设计IIR数字滤波器
例7–1：一个数字系统的采样频率fs?2000Hz，试设计一个为此系统使用的带通数字滤波器Hdbp?z?，希望采用巴特沃兹滤波器。要求：（1）通带范围为300~400Hz，在带边频率处的衰减不大于3dB。（2）在200Hz以下和500Hz以上衰减不小于18dB。
解：方法1：按照IIR滤波器的设计步骤，调用matlab工具箱的函数来实现IIR滤波器的设计。程序清单如下：
clear all;close all
fp=[300 400];fs=[200 500]; rp=3;rs=18;Fs=2000; wp=fp*2*pi/Fs; ws=fs*2*pi/Fs;
%滤波器数字指标到模拟指标的转换 wap=2*Fs*tan(wp./2); was=2*Fs*tan(ws./2);
[n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs,'s');%注意:'s'!
%归一化模拟低通滤波器的设计，系数是bp,ap [z,p,k]=buttap(n); [bp,ap]=zp2tf(z,p,k)
%模拟低通滤波器到模拟带通滤波器的转换，系数bs,as bw=wap(2)-wap(1);
w0=sqrt(wap(1)*wap(2)); [bs,as]=lp2bp(bp,ap,w0,bw)
%模拟带通滤波器经双线性变换得到要求的数字带通滤波器，系数bz，az [bz,az]=bilinear(bs,as,Fs)
%归一化模拟低通滤波器的频率响应h1 [h1,w1]=freqs(bp,ap); figure(1)
plot(w1,abs(h1));grid;ylabel('lowpass G(p)'); xlabel('Hz') title('归一化模拟低通滤波器幅度特性') %模拟带通滤波器的频率响应h2 w2=[0:Fs/2-1]*2*pi; h2=freqs(bs,as,w2);
%数字带通滤波器的频率响应h3 [h3,w3]=freqz(bz,az,1000,Fs); figure(2)
plot(w2/2/pi,20*log10(abs(h2)),w3,20*log10(abs(h3)),':'); legend('模拟滤波器幅频特性','数字滤波器幅频特性');grid;
title('模拟带通滤波器和数字带通滤波器对比'); xlabel('Hz');ylabel('幅度（dB）'); figure(3)
% subplot 211; plot(w3,20*log10(abs(h3)));grid;
% axis([0,Fs/2,-150,0]) %为方便对比方法2，将坐标限定
% title('数字带通滤波器幅度特性');xlabel('Hz');ylabel('幅度（dB）') % subplot 212; plot(w3,abs(h3));grid;xlabel('Hz') 运行结果如下（其原型和幅频响应如图7–1所示）。
bp =0 0 1
ap =1.0000 1.4142 1.0000
bs =1.0e+005 * 7.5354 -0.0000 0.0000
as =1.0e+013 *0.0000 0.0000 0.0000 0.0007 3.5083 bz =0.0201 0.0000 -0.0402 0.0000 0.0201 az =1.0000 -1.6368 2.2376 -1.3071 0.6414
归一化模拟低通滤波器幅度特性10.90.80.7幅度（dB）-100模拟带通滤波器和数字带通滤波器对比0-50lowpass G(p)0.60.50.40.30.20.10-150-200模拟滤波器幅频特性数字滤波器幅频特性-250-300-350012345Hz6789100100200300400500Hz6007008009001000
（a）归一化模拟低通滤波器幅频响应 （b）模拟和数字带通滤波器的幅频响应
数字带通滤波器幅度特性0幅度（dB）-50-100-1500100200300400500Hz600700800900100010.80.60.40.200100200300400500Hz6007008009001000
（c）数字带通滤波器的幅频响应的两种形式
图7–1 巴特沃兹滤波器
方法2：直接调用butter函数设计IIR滤波器。程序清单如下： clear all;close all
fp=[300 400];fs=[200 500]; rp=3;rs=18;Fs=2000;
wap=fp/(Fs/2);%范围在0~1之间，1对应采样频率的一半 was=fs/(Fs/2);
[n,wn]=buttord(wap,was,rp,rs);%注意:无's' [bz,az]=butter(n,wn)
[h3,w3]=freqz(bz,az,1000,Fs);
subplot 211;plot(w3,20*log10(abs(h3)));grid;title('数字带通滤波器幅度特性')
xlabel('Hz');ylabel('幅度（dB）')
subplot 212;plot(w3,abs(h3));grid;xlabel('Hz') 运行结果如下(幅频响应如图7–2所示）。
bz =0.0213 0 -0.0426 0 0.0213 az = 1.0000 -1.6303 2.2183 -1.2919 0.6320
分析：对比两种方法所得的数字滤波器系数，数值上有稍微差别，属于计算误差范围之内；滤波器的幅频特性也基本一致（对比图7–1和图7–2）。两种方法实质上是一种方法，只是方法2实际上把buttord.m，buttap.m，lp2lp.m及bilinear.m等文件都包含进去，从而使设计过程更简捷。
数字带通滤波器幅度特性0幅度（dB）-50-100-1500100200300400500Hz600700800900100010.80.60.40.200100200300400500Hz6007008009001000
图7–2 数字带通滤波器的幅频响应的两种形式
四、实验内容
1．设计一个数字低通滤波器，要求通带截止频率100Hz，阻带截止频率为300Hz，数字系统的采样频率fs?1000Hz，通带衰减不大于3dB，阻带衰减不小于20dB。用MATLAB程序实现滤波器的设计，求得数字滤波器的表达式，幅频特性和相频特性图。
2．设计一个数字高通滤波器，数字系统的采样频率fs?1000Hz，要求通带截止频率
?p?0.8?rad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率?s?0.44?rad，阻带衰减不小于
15dB。采用巴特沃斯型滤波器。用MATLAB程序实现滤波器的设计，求得数字滤波器的表达式，幅频特性和相频特性图。
3．设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率?1?0.19?rad，阻带下截止频率
?s1?0.198?rad，阻带上截止频率?s2?0.202?rad，通带上限频率?2?0.21?rad，
阻带最小衰减?s?13dB，?1和?2处衰减?p?3dB。采用巴特沃斯型, 数字系统的采样频率fs?1000Hz。用MATLAB程序实现滤波器的设计，求得数字滤波器的表达式，幅频特性和相频特性图。