打造未来社会精英
26．阅读下面的材料：
小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题： 如果α，β都为锐角，且tan??11，tan??，求???的度数． 23小敏是这样解决问题的：如图1，把?，?放在正方形网格中，使得?ABD??， ?CBE??，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰直角三角形，因此可求得???=
∠ABC = °.
请参考小敏思考问题的方法解决问题：
如果?，?都为锐角，当tan??4，tan??时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=???，由此可得???=______°.
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五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．
2已知二次函数y1?x?bx?c的图象C1经过(?1,0)，(0,?3)两点．
（1）求C1对应的函数表达式；
（2）将C1先向左平移1个单位，再向上平移4个单位， 得到抛物线C2，将C2对应的函数表达式记为
2 y2?x?mx?n，求C2对应的函数表达式；
（3）设y3?2x?3，在（2）的条件下，如果在 ?2≤x≤a内存在某一个x的值，使得y2≤y3 ．．
成立，利用函数图象直接写出a的取值范围．
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28． △ABC中，AB=AC．取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE的中点F，连接BE，AF交
于点H． （1）如图1，如果?BAC?90?，那么?AHB? ?， （2）如图2，如果?BAC?60?，猜想?AHB的度数和 （3）如果?BAC??，那么
AF? ； BEAF的值，并证明你的结论； BEAF（用含?的表达式表示） ? ．
BE
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29．
给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的
长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离． 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．
（1）点A的坐标为A(1,0)，则点B(2,3)和射线OA之间的距离为________，点C(?2,3) 和射线OA之间的距离为________； （2）如果直线y=x和双曲线y? 行研究）
（3）点E的坐标为(1,3)，将射线OE绕原点O逆时针旋转60?，得到射线OF，在坐
标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M． ① 请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影
表示） ② 将射线OE，OF组成的图形记为图形W，抛物线y?x2?2与图形M的 公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离． k之间的距离为2，那么k= ；（可在图1中进 x
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北京市西城区2015年初三一模试卷
数学试卷参考答案及评分标准 2015. 4
一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 答案 1 2 3 4 5 D 14 6 A 7 C 8 A 15 9 B 16 7，1310 C B A C C 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11 12 13 BD=CE，∠BAD=∠CAE，∠ADB=∠AEC，=， 8? 3?2m?1??2m?1? BE=CD，∠BAE=∠CAD，∠ADE=∠AED，x?5 3不变AE=AD（只填一个即可） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．解：12??π?2008??()?1?6tan30? =23?1?2?6? =23?3?23
0123?????????????????????? 4分 3 =3．???????????????????????????????? 5分 18．证明：如图1．
∵ ∠EAC=∠DAB，
∴ ?EAC??1??DAB??1．
即 ∠BAC=∠DAE． ???????? 1分 在△ABC和△ADE中，
??C??E,? ??BAC??DAE,?????????3分
?AB?AD,?图1 ∴ △ABC≌△ADE．??????????????????????? 4分 ∴ BC = DE．?????????????????????????? 5分
??2?x?0，19．解：?① 35x?1?4x?8.???? ② 由①，得x?2． ????????????????????????? 2分
由②，得 15x?3?4x?8．
移项，合并，得 11x??11．
系数化1，得 x??1． ?????????????????????? 4分 所以原不等式组的解集为x?2．???????????????????5分
a2?3aa?31??20．解： 2
a?2a?1a?1a?1a?a?3?a?31 =???????????????????????2分 ??2a?1a?1?a?1??
a?a?3?a?11 ??2a?3a?1a?1??（共7页，第 9 页）
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= =
a1????????????????????????????3分 ?a?1a?1a?1．??????????????????????????????4分 a?12?11?．?????????????????????5分 2?1321．解：设普通列车的平均速度为x千米/时．????????????????? 1分
当a?2时，原式=
则高铁的平均速度是2.5x千米/时．
400520．???????????????????? 2分 ?3?2.5xx 解得 x?120．??????????????????????????3分 经检验，x?120是原方程的解，且符合题意．???????????? 4分 所以 2.5x?300．
依题意，得
答：高铁的平均速度是300千米/时.??????????????????? 5分 22．（1）证明： ????2(m?1?)2 )?m4m(? 2?4m2?8m?4?4m2?8m
?8m2?4．??????????????????????????1分 ∵ 8m2≥0，
∴ 8m2?4＞0．????????????????????????2分 ∴ 方程总有两个不相等的实数根． ??????????????? 3分
（2）解：∵ x??2是此方程的一个根，
2 ∴ (?2)?2?(?2)(m?1)?m(m?2)?0．
整理得 m2?2m?0．
解得 m1?0，m2?2．????????????????????? 5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．（1）证明：∵ ?ADE??BAD，
∴ AB∥ED．??????????????????????? 1分 ∵ BD垂直平分AC，垂足为F， ∴ BD?AC，AF=FC．
又∵ AE?AC，
∴ ?EAC??DFC?90?． ∴AE∥BD．
∴ 四边形ABDE是平行四边形．????????????????2分
（2）解：如图2，连接BE交AD于点O． ∵ DA平分∠BDE，
∴ ∠ADE=∠1．
又∵ ?ADE??BAD， ∴ ∠1=∠BAD．
图2 ∴ AB= BD．????????????3分 ∴ ABDE是菱形． ∵ AB=5，AD=6，
1AD?3． 2 在Rt△OAB中，OB?AB2?OA2?4．
∴ BD=AB=5，AD?BE，OA?（共7页，第 10 页）