?4x?4x3, 0?x?1,因此，（X，Y）关于X的边缘概率密度fX (x)＝?
其它.?0, 当y<0或y>1时，fY (y)＝0； 当0≤y≤1时，fY (y)＝
?????yf(x,y)dx??8xydx?4y?x2|0?4y3.
0y?4y3, 0?y?1,因此，（X，Y）关于Y的边缘概率密度fY (y)＝?
0, 其它.? （2）因为f (1/2, 1/2)＝2，而fX (1/2) fY (1/2)＝(3/2)*(1/2)＝3/4≠f (1/2, 1/2)， 所以，X与Y不独立。
?7 6?六（1）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??
6 9??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=7+9+2*6=28
D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=7+9-2*6=4
Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =7-9= -2
?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)??228*4??128
??28 -2??1 所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?-2 4???-1-1?28?? ? 1???28??9 2?六（2）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??
2 1??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+1+2*2=14
D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+1-2*2=6
Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =9-1=8
?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?814*6?421
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4???14 8?1 ?21?所以，（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ? ? 和 ???8 6??4? 1??21??? 9 －6?六（3）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??
－6 6??求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=9+6-2*(-6)=27
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=9+6+2*(-6)=3
Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =9-6= 3
?(X?Y,X?Y)3X?Y,X?Y?CovD(X?Y)D(X?Y)?27*3?13
X?27 3??所以，（—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?1 ?3 3?? 和 ????1?3 1? 4 －5?六（4）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??－5 9??
求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=4+9-2*(-5)=23
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=4+9+2*(-5)=3
Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =4-9= -5
?Cov(X?Y,X?Y)?5X?Y,X?Y?D(X?Y)D(X?Y)??523*3?69
?23 -5??所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ??1 ?-5 13?? 和 ???-5?69? 1 －1?六（5）、已知随机向量（X，Y）的协方差矩阵V为??－1 4??
求随机向量（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。
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1?3?? ???-5?69?? ??? 1
解：D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=1+4-2*(-1)= 7
D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=1+4+2*(-1)=3
Cov(X-Y, X+Y)= DX-DY =1-4= -3
?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)??37*3??321
-3???7 -3?1 ?21?所以，（X—Y， X＋Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵分别为 ?? 和 ?? -3 3???-3? 1??21??求随机向量（X＋Y， X—Y）的协方差矩阵与相关系数矩阵。 解：D(X+Y)= DX+DY+2Cov(X, Y)=5+4+2*2=13
D(X-Y)= DX+DY-2Cov(X, Y)=5+4-2*2=5
Cov(X+Y, X-Y)= DX-DY =5-4=1
?X?Y,X?Y?Cov(X?Y,X?Y)D(X?Y)D(X?Y)?113*5?165
七（1）、设总体X的概率密度函数是
??x??1, 0?x?1 f(x;a)???0, 其它其中??0为未知参数。x1, x2, ?, xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。
解：似然函数L???xii?1n??1???xii?1nn??1 lnL?nln??(??1)?lnx
ii?1ndlnLnn??? ???lnxi?0 ?d??i?1n?lnxi?1n
i
七（3）、设总体X的概率密度函数是
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?2?xexp{??x2}, x?0 f(x)???0, 其它?>0为未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。
解：似然函数L??(2?xiexp{??xi})?(2i?1n2nnnn2nn??xiexp{???xi}) lnL?nln(2?)??lnxi???xi2
i?1i?1i?1i?1dlnLnn2?? ???xi?0 ?d??i?1n?xi?1n
2i 七（4）、设总体的概率密度函数是
?3?x2exp{??x3}, x?0f(x)??
?0, 其它其中?>0是未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。 解：似然函数L??(3?xexp{??xi})?(3i?1n2i3nnn2n3n2n??xiexp{???xi}) lnL?nln(3?)??lnxi???xi3
i?1i?1i?1i?1dlnLnn3?? ???xi?0 ?d??i?1n?xi?1n
3i 七（5）、设总体X服从参数为?的泊松分布P(?)??xx!e??（x=0，1， ?），其中??0为未知参数，x1,x2,x3,?,xn是一组样
本值，求参数?的最大似然估计。
解：似然函数L??n?xixi!ni?1e????n?xii?1ne?n? lnL??xi!i?1?xln???ln(x!)?n?
iii?1i?1nndlnL??i?1
d??
xi???n?0 ??xi?1nin?x
七（6）、设总体X的概率分布为P{X= x}=p(1-p),x?0,1。 设x1,x2,x3,?,xn为总体X的一组简单随机样本，试用最大似
然估计法求p的估计值。
x1-x34 第页共44页
nnn???? lnL???xi?lnp??n??xi?ln?1?p?
i?1?i?1???解：
L??p?1?p?xii?11?xin1ndlnL?n?1??1???xi?x ???xi???n??xi??0 pi?1i?1ni?1dp??p??1?p 七（7）、设总体X服从参数为
1的指数分布，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。 ?n解： L??n1i?1?e1?xi?1xi?1?1n?1???i??1 lnL?nln????xi ???e?????i?1??n1ndlnLn1n????2?xi?0 ???xi?x
ni?1d???i?1 七（8）、设总体X服从参数为?的指数分布，x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计。
解：似然函数
L???ei?1nn??xi??exin??i??1n lnL?nln????xi
i?1ndlnLnn??n?1 ???xi?0 ?nd??i?1?xixi?1七（9）、设总体X的概率密度函数是
(x??)21?12f(x;?)?e, ???x???
2?x1,x2,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计？
解：似然函数
?xi???21?12 L??e?i?12?n?n1n2??1n2lnL??ln2???(x??) exp??x????????iini?1i?1222??2?1?1ndlnLn???xi?x ??(xi??)?0 ?ni?1d?i?1七（10）、设总体X的概率密度函数是
f(x;?)?1e2???x22?, ???x???
x1,x2,x3,?,xn是一组样本值，求参数?的最大似然估计？
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