定总运费最小的调运方案。
例2 较为复杂的产销不平衡问题
设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥，假设每个地区使用各厂的化肥效果相同，各化肥厂的年产量，各地区的需求量以及它们之间的单位运价如表，求总运费最少的化肥调运方案。
分析：
(1)这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为160万吨，四个地区的最低需求为110万吨，最高需求为无限．
根据现有产量及Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ地区的最低需求，第Iv个地区每年最多能分配到(50+60+50)-(30+70+0)=60万吨，这样四个地区的最高需求为50＋70＋30＋60＝210万吨，大于总产量．
(2)为了求得平衡，在产销平衡表中增加一个假想的化肥厂D，其年产量为210-160=50万吨．
(3)由于各地区的需要量包含两部分，最低需求和额外需求。如地区Ⅰ，其中30万吨是最低需求，故不能由假想化肥厂D供给，令相应运价为M(任意大正数)．而另一部分20万吨满足或不满足均可以，因此可以由假想化肥厂D供给，按前面讲的，令相应运价为0。这样，凡是需求分两种情况的地区，实际上可按照两个地区看待．这样可以写出这个问题的产销平衡表(表3—26)和单位运价表(表3—27)． 产销平衡表
单位运价表
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两个表也可以合在一起写。
根据表上作业法计算，可以求得这个问题的最优方案如下：
应用举例
例1 某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10，15，25，20台同一规格的柴油机．已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示．又如果生产出来的柴油机当季不交货的，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元．要求在完成合同的情况下，做出使该厂全年生产(包括储存、维护)费用最小的决策．
解: 由于每个季度生产出来的柴油机不一定当季交货，所以设xij为第i季度生产的用于第j季度交货的柴油机数．
根据合同要求，必须满足：
又每季度生产的用于当季和以后各季交货的柴油机数不可能超过该季度的生产能力，故又有：
第i季度生产的用于j季度交货的每台柴油机的实际成本Cij应该是该季度单位成本加上储存、维护等费用．Cij的具体数值见表
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设用ai表示该厂第i季度的生产能力，bj表示第j季度的合同供应量，则问题可写成：
因为当j 所以当j 此外，由于是产量大于销量的不平衡问题，∴加上一个假想的需求D，就可以把问题变成产销平衡的运输模型，并写出产销平衡表和单位运价表(合在一起，如下) 经用表上作业法求解，可得多个最优方案，表3—32中列出最优方案之一．即第1季度生产25台，10台当季交货，15台Ⅱ季度交货；Ⅱ季度生产5台．用于Ⅲ季度交货；Ⅲ季度生产30台，其中20台于当季交货，10台于Ⅳ季度交货Ⅳ季度生产10台，于当季交货．按此方案生产，该厂总的生产(包括储存、维护)的费用为773万元． 13 例2 某航运公司承担六个港口城市A、B、C、D、E、F的四条固定航线的物资运输任务．已知(1)各条航线的起点、终点城市及每天航班数．(2)假定各条航线使用相同型号的船只，又已知各城市间的航程天数．(3)又知每条船只每次装卸货的时间各需1天。问该航运公司至少应配备多少条船，才能满足所有航线的运输需求? 每天航班数表 各城市之间的航程天数 解： 该公司所需配备船只分两部分：(1)载货航程需要的周转船只数。例如航线l，在港口E装货1天，E—D航程l 7天，在D卸货1天，总计19天．每天3航班，故该航线周转船只需57条．各条航线周转所需船只数见表．以上累计共需周转船只数91条． (2)各港口间调度所需船只数．有些港口每天到达船数多于需要船数．例如港口D，每天到达3条，需求1条；而有些港口到达数少于需求数，例如港口B．各港口每天余缺船只数的计算见表． 为使配备船只数最少，应做到周转的空船数为最少．因此建立以下运输问题，其产销平衡表见表． 14 单位运价表应为相应各港口之间的船只航程天数，见表 用表上作业法求出空船的最优调度方案见表 另一最优解为xCA=1,xCE=1,xDB=1,xDE=1,xFE=1 按这两个方案掉运船只，解得Z=40，说明各港口之间调度所需船只至少为40艘。 综合以上两方面的要求，在不考虑维修、储备等情况下，该公司至少配备131条船，才能满足4条航线正常运输的需要。 练习题： 1、 求解下表所示的运输问题，分别用最小元素法、西北角法和伏格尔法给出初始基可行解： A1 A2 A3 需要量 B1 （10） （16） （5） 5 B2 （6） （10） （4） 3 B3 （7） （5） （10） 4 B4 （12） （9） （10） 6 供应量 4 9 5 18 2、由产地A1，A2发向销地B1，B2的单位费用如下表，产地允许存贮，销地允许缺货，存贮和缺货的单位运费也列入表中。求最优调运方案，使总费用最省。 A1 A2 需要量 缺货费/件 B1 8 6 200 2 B2 5 9 350 5 供应量 400 300 存贮费/件 3 4 供应量 100 80 60 240 3、对如下表的运输问题： A 100（6） 30（5） （2） 130 15 B （4） 50（8） 60（7） 110 X Y Z 需要量