第五节正弦交流电基础 一、单相正弦交流电
1、正弦交流电的正方向
正弦交流电路中的电压，电流及电动势，其大小和方向均随时间变化，其数学表达式为：
以u为例,其波形图如图1-45所示。在0~t1时间内若其实际正方向与参考方向（箭头所标）相同，则在t1~t2时间内，其实际正方向u'与参考正方向相反相反，因此，在分析交流电路时，不同瞬时交流量的比较是没有意义的。这也是其区别于直流电的基本特征。
2、正弦交流电的三要素：
式（1-69）是正弦交流量的瞬时值表达式，其中Em、Um、Im称为正弦量的最大值或幅值；ω称为角频率，φe、φu、φi称为初相位。如果己知辐值、角频率和初相位，则上述正弦量就能唯一地确定，所以称它们为正弦量的三要素。
（1）最大值、瞬时值、有效值。
最大值是反映正弦量变化幅度的，又称为幅值或峰值，规定用大写字母加下标m表示，即Em、Um、Im。
瞬时值是正弦量任一时刻的值，规定用小写字母表示，分别为e、u、i，而平常所说的电压高低、电流大小或用电器上的标称电压或电流指的是有效值。有效值是：交流电流i通过电阻R在一个周期T内产生的热量与直流电流I通过R在时间T内产生的热量相等时，这个直流电流I昀数值称为交流电流的有效值。
则有效值表达式为：
可见，正弦交流量的最大值是其有效值的效值，其最大值约为311V。
（2）周期、频率、角频率。
1
2倍，通常所说的变流电压220V是指有
反映交流电变化快慢的物理量是频率?（或周期T）。即交流电每秒钟变化的次数，单位为赫兹（Hz）而周期为其交变一次所需的时间，单位为秒（s）。它们互为倒数的关系。目前世界各国电力系统的供电频率有50 Hz和60Hz两种，我国采用50 Hz供电频率，这种频率称为工业频率，简称工频。
?=1/T或T=1/?
而正弦交流量表达式中反映交流电变化快慢的特征量是角频率ω，一般正弦波形图中的横轴常用ωt表示，如图1-46所示。
可见ωt=2π。则 ω=2π/T=2π? （1-72）
角频率的单位是弧度/秒（rad/s），它的含义是正弦量每秒变化的弧度数，或2π秒内交流量变化的周期数。同样可以反映正弦量变化的快慢（在交流发电机中,ω又与发电机转动的角速度相联系）。
（3）相位、初相位与相位差。
任一瞬时的角度（ωt+φ）称为正弦量的相位角或相位，它与交流量的瞬时值相联系。 T=0时的相位角φ叫初相位角或初相位，它是正弦量初始值大小的标志。如： u0=umsinφu （1-73）
初相位的大小与所选取的时刻起点有关，如果将图1-46中的时刻起点左移到图中虚线处，则初相位φu=0。当然，初相位不同，其起始值也就不同。
在一个正弦电路中，存在有两个以上的正弦信号时，一般不是同时达到最大值或零值的，即它们之间存在着不同相位的问题。相位差是用来描述它们之间的先后关系的。如：
u=Umsin(ωt+φu) i =Im sin(ωt+φu) 则它们的相位差为：
2
φ=(ωt+φu)-(ωt+φi)=φu-φi
可见，同频正弦量的相位差也就是其初相位之差。 3、正弦交流电的表示方法
用三角函数或图形来表示正弦量是最基本的表示方法，但要用其进行电路分析与计算却比较难。由于在正弦交流电路中一般使用的都是同频率正弦量，所以常用下面所述的向量图或向量表示式（复数符号法）进行分析与计算。
（1）相量图。相量图是能够确切表达正弦量三要素的简捷图示法。在复平两内将正弦量的幅值用旋转矢量表示，并以角速度ω逆时针旋转。例如，正弦电压u=Umsin(ωt+φu)为图1-47的旋转矢量。
此矢量大小为Um以角速度ω在复平面内旋转时，任意时刻其矢端的纵坐标值与正弦波的瞬时值对应，其与实轴的夹角即相位角ωt+φu，为与空间矢量区别，用大写字母头上加“?”表示，如图中的ùm。
应用相量图分析正弦电压、电流问题时，由于这些正弦量的频率相同（即矢量的旋转速度相同），因而它们之间的相对位置在任何瞬间均不会改变。所以在分析时，只需将它们当作不动量来处理，这样不会影响分析的结果。此外，工程计算中多用其有效值衡量大小，故只需用有效值相量表示即可。如：
u1=Um1sin(ωt+φ1) u2=Um2sin(ωt+φ2) 则其相量图可简作图1-48a所示，其中U1=Um1 /则其相量为ù1、ù2构成的平行四边形的对角线。
U2=Um2 /2。若求电压2、u=u1+u2，
如图1-48b所示，这样可较方便地定出其和相量的有效值与初相位角，且可表示为：
3
ù=ù1+ù2
当然，由相量图的计算结果变为正弦量，只需将其值乘以其确切的正弦表达，即：
u=2Usin(ωt+φ)
2加上旋转因子ωt便为
（2）相量表达式（复数符号法）。用画相量图的方法可以清楚地表示所讨论的各正弦量间的相互关系，也可通过作相量图求得所需结果，但在实际使用时由于作图精度的限制，特别是分析复杂电路时还是比较困难的。而相量的数学表达——复数符号法才是分析交流电路的一般方法。
若将图1-48中的相量用复数表示，则 ùm=|ùm|ej(ωt+φ) （1-75）
对于同频正弦量，ωt可免写，则其有效值相量可简作：
这种表示叫相量的极坐标表示法。需要说明的是，一般只在电路与电工类书籍中这样表达。并且，只有用复数表示的正弦量才叫相量，用复数表示的其他量不能叫相量。
借助于相量的复数表示，结合相量图，同频正弦量的分析与计算可以一步求得其大小（幅值）与初相位（辐角）。
实际应用中，若只求其大小（一般为有效值），则用相量法更简捷、更直观，也无需再写出其瞬时值表达式。
4、交流电路的计算
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（）1单一参数的交流电路。电路中的参数根据其物理性质的不同一般有电阻R、电感L和电容C三种，任何一个实际的电路元件，这三种参数都存在。所谓单一参数是指忽略其他两种参数的理想化元件。
1）线性电阻元件的交流电路。线性电阻元件的交流电路如图1-50所示。
若i=Imsinωt 则： u=iR=ImRsinωt=Umsinωt （1-77）
可见，其电流电压不仅同频，而且同相位。其波形图、相量图如图1-51所示。式（1-77）中，Um=ImR或U=IR
相量式表示为：ù=ìR
且其瞬时功率为：p=ui=UmImsin2ωt
其在一个周期内的平均值，称为平均功率，又叫有功功率。单位为瓦特（W）或千瓦（）kW。即：P=UI=I2R=U2/R （1-78）
在工程方面的实际应用中，只关心其平均功率，而不细究瞬时功率。 2）线性电感元件的交流电路。如图1-52所示。
若i=Imsinωt 则： u=Umsin(ωt+90°) （1-79）
可见，线性电感元件的交流特性是其电压在相位上超前电流90°，其波形图与相位
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