11.3导数概念与运算
一、明确复习目标
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)； 2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念; 3.熟记基本导数公式；
4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;
5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.
二．建构知识网络
1．导数的概念：设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，如果Δx→0时，Δy与Δx的比
?y?y（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值?x?x叫做函数y=f(x)在Δx→0处的导数，记作
f/(x0)?limf(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?y?lim?lim；
?x?o?x?x?ox?x0?xx?x02．导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x0，
y0）处的切线的斜率，即斜率为f′(x0).
过点P的切线方程为：y- y0= f′(x0) (x- x0).
3.导函数、可导：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，即对于每一个x∈(a,b)，都对应着一个确定的导数f′(x0)，从而构成了一个新的函数f′(x0), 称这个函数f′(x0)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数。此时称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导.
4．可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导 函数y=f(x)在点x0处连续.
5.依定义求导数的方法：
（1）求函数的改变量?y?f(x??x)?f(x)
?yf(x??x)?f(x)? ?x?x?y/（3）取极限，得导数y＝f?(x)?lim
?x?0?x（2）求平均变化率6．几种常见函数的导数：
C'?0 (C为常数)；(xn)'?nxn?1(n?Q)；(sinx)'?cosx；
(cosx)'??sinx；(lnx)'?11；(logax)'?logae；(ex)'?ex；(ax)'?axlna。 xx7．导数的四则运算法则：
[u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x)；[u(x)v(x)]??u'(x)v(x)?u(x)v'(x)；
?u?u'v?uv' [Cu(x)]??Cu'(x)；???(v?0) 2vv??'8．复合函数的导数：设函数u=?(x)在点x处有导数u′x=?′(x)，函数y=f(u)在点
x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f(? (x))在点x处也有导数，且
y'x?y'u?u'x 或y'x=f′(u) ?′(x).
9.求导数的方法:
(1)求导公式; (2)导数的四则运算法则; (3)复合函数的求导公式; (4)导数定义.
三、双基题目练练手
1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则
?x为（ ） ?yA.Δx+
111+2 B.Δx－－2 C.Δx+2 D.2+Δx－ ?x?x?x
B.
2.设f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,则a的值等于 （ ） A.
19 31316 C.
33 D.
10 33．(2005湖南)设f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x) ＝ fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝
（ ）
C．cosx
D．－cosx
A．sinx B．－sinx 4.(2006湖南)设函数f(x)?x?a, 集合M?{x|f(x)?0},P?{x|f?(x)?0} x?1若M?P, 则实数a的取值范围是 ( )
A．(??,?1) B．(0,1) C．(1,??) D．[1,??) 5. (2006全国Ⅰ)设函数f?x??cos奇函数，则??__________
?3x???0????? 若f?x??f/?x?是
??x2?ax(x?1)6．设函数f(x)??则该函数的最小值是____． ,若该函数在实数集R上可导，
?x?b(x?1)
7.(2005北京)过原点作曲线y?ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .
8．对正整数n，设曲线y?xn(1?x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{
an}的前n项和的公式是 n?1π
简答:1－4.CDCC； 5. 6 ；
1
6. 答案: －. 依题意
4
f'(1)?2?a?1,且limf(x)?limf(x)=f(1),x?1??x2?x(x?1)?a?b??1,?f(x)??,x?1(x?1)?11
作图易得函数的最小值是f()＝－ 24
7. （1，e） e； 8. 2n+1-2.
四、经典例题做一做
x?1-
【例1】求下列函数的导数： （1）y=x?cosx （2）y=ln（x＋1?x2）;
x?sinxex?1（３）y=x;
e?1解: （1）y′=
(x?cosx)?(x?sinx)?(x?cosx)(x?sinx)?
(x?sinx)2=
(1?sinx)(x?sinx)?(x?cosx)(1?cosx) 2(x?sinx)?xcosx?xsinx?sinx?cosx?1
(x?sinx)2=
（2）y′=
1x?1?x2（1＋
·（x＋1?x2）′
=
1x?1?x2x1?x2）=
11?x2
(ex?1)?(ex?1)?(ex?1)(ex?1)??2ex（３）y′==x
(ex?1)2(e?1)2◆提炼方法：题（1）是导数的四则运算法则；題（2）（3）是复合函数的求导方法.
都是导数问题的基础.
2x在点（1，1）处的切线方程； 2x?1t?12（2）运动曲线方程为S?2?2t，求t=3时的速度
t【例2】（1）求曲线y?分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在x0处的导数就是曲线y=f(x)在点p(x0,y0)处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数
2(x2?1)?2x?2x2?2x2 解：（1）y'?， ?2222(x?1)(x?1)2?2?0，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0 42x 因此曲线y?2在（1，1）处的切线方程为y=1
x?1 y'|x?1? （2）S'???t?1?'?(2t2)' 2??t?t2?2t(t?1)12?4t????4t ?t4t2t3 S'|t?3??1226??12?11 92727解题点评:切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求
切线方程的方法.
【例3】若f（x）在R上可导，（1）求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函数，则f′（x）为奇函数.
分析:（1）需求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数；（2）求f′（x），
然后判断其奇偶性.
（1）解:设f（－x）=g（x）,则
g(a??x)?g(a)
?x?0?xf(?a??x)?f(?a)=lim ?x?0?xf(?a??x)?f(?a)=－lim=－f′（－a）
??x?0??xg′（a）= lim∴f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数互为相反数. （2）证明:f′（－x）= lim=lim?x?0f(?x??x)?f(?x)
?xf(x??x)?f(x)
?x?0??xf(x??x)?f(x)=－lim=－f′（x）
?x?0??x∴f′（x）为奇函数.
解题点注:用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致.
【例4】（2006浙江）已知函数f(x)＝x3+x2，数列 { xn } （xn > 0）的第一项x1＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y＝f(x)在(xn?1,f(xn?1))处的切线与经过
（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线平行（如图）。求证：当n?N时： （I）xn2?xn?3xn?12?2xn?1；（II）()
*12n?11?xn?()n?2
2
证明：（I）∵f(x)?3x?2x,
2∴曲线y?f(x)在(xn?1,f(xn?1))处的切线斜率kn?1?3xn?1?2xn?1.
'2