2∵过(0,0)和(xn,f(xn))两点的直线斜率是xn?xn, 2∴xn?xn?3xn?12?2xn?1.
（II）∵函数h(x)?x2?x当x?0时单调递增，
2而xn?xn?3xn?12?2xn?1?4xn?12?2xn?1
?(2xn?1)2?2xn?1，
∴xn?2xn?1，即
xn?11?, xn2因此xn?2xnxn?1x1??????2?()n?1. xn?1xn?2x122又∵xn?xn?2(xn?1?xn?1),
2令yn?xn?xn,则
yn?11?. yn212n?11?y1?()n?2.
21n?21n?11n?22因此xn?xn?xn?(), 故()?xn?().
2222∵y1?x1?x1?2, ∴yn?()考查知识：函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查
逻辑推理能力。
五．提炼总结以为师
1． 2． 3． 4． 5．
了解导数的概念，初步会用定义式解决一些问题； 会用定义式求导数；
了解导数的几何意义；会求切线方程； 掌握常见函数的导数公式，并会正确运用；
掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。
同步练习 11.3导数概念与运算
【选择题】
1.设函数f（x）在x=x0处可导,则limh?0f(x0?h)?f(x0) （ ）
hA与x0,h都有关 B仅与x0有关而与h无关 C仅与h有关而与x0无关 D与x0、h均无关
2.已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为 （ ） Af（x）=（x－1）2+3（x－1） Bf（x）=2（x－1） Cf（x）=2（x－1）2 Df（x）=x－1
3．(2005湖北)在函数y?x3?8x的图象上，其切线的倾斜角小于为整数的点的个数是
A．3
B．2
C．1
?的点中，坐标4（ ） D．0
4.(2006安徽)若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ）
A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0
【填空题】
5. 一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s?1473t?t?7t2?8t，43那么速度为零的时刻是 ________
6．过点（0，－4）与曲线y＝x3＋x－2相切的直线方程是 ．
7. 设f（x）在x=1处连续，且f（1）=0,limx?1f(x)=2,则f′（1）=_______ x?18.曲线y=2－
121x与y=x3－2在交点处的切线夹角是__________（以弧度数作答） 24
简答.提示：1－4.BADA；5. 1，2，4秒末；
f(x) =2,
x?1x?1f(1??x)?f(1)f(x)?f(1)f(x)∴f′（1）= lim=lim =lim=2
?x?0x?1x?1x?1?xx?16．y＝4x－4；7.∵f（1）=0, lim
8.由消y得：（x－2）（x2+4x+8）=0,∴x=2
12
x）′=－x,∴y′|x=2=－2 2x33又y′=（－2）′=x2,∴当x=2时,y′=3
44∵y′=（2－
∴两曲线在交点处的切线斜率分别为－2、3, |
?2?3π|=1 ∴夹角为
1?(?2)?34【解答题】
9．下列函数的导数
①y?(x?1)(2x2?3x?1)
3②y?2x?3x?x?1 xx－
③f（x）=ex（cosx+sinx）
分析：利用导数的四则运算求导数
①法一：y?2x3?3x2?x?2x2?3x?1
?2x3?5x2?2x?1 ∴ y??6x2?10x?2
法二：
y??(x?1)?(2x2?3x?1)?(x?1)(2x2?3x?1)?2=2x?3x?1+(x?1)(4x?3)
?6x2?10 x?2② y?2x?3x12
32?12?x?x
35?1?323?3??2∴ y??3x?x2?x?x2
22③f/(x)=－ex（cosx+sinx）+ex（－sinx+cosx） －
=－2exsinx, 10． 如果曲线y?x3?x?10的某一切线与直线y?4x?3平行，求切点坐标与切线方程．
解：?切线与直线y?4x?3平行， 斜率为4
－
－
又切线在点x0的斜率为
y?x0?(x3?x?10)?x02?3x0?1
2∵ 3x0?1?4 ∴x0??1
?x0?1?x0??1 或 ??y??12y??8?0?0∴切点为（1，-8）或（-1，-12）
切线方程为y?8?4(x?1)或y?12?4(x?1) 即y?4x?12或y?4x?8
11．(2005福建) 已知函数
，且在点M（－1，f（－1））处的切线方程f(x)?x3?bx2?cx?d的图象过点P（0，2）
为6x?y?7?0．
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间． 解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2， 所以f(x)?x3?bx2?cx?2,
f?(x)?3x2?2bx?c.
由在M(-1,f(-1))处的切线方程是6x?y?7?0，知
?6?f(?1)?7?0,即f(?1)?1,f?(?1)?6.
?3?2b?c?6,2b?c??3,即?1?b?c?2?1.b?c?0, 解得b?c??3.??故所求的解析式是 f(x)?x3?3x2?3x?2. （Ⅱ）f?(x)?3x2?6x?3.令3x2?6x?3?0,
即x2?2x?1?0.
解得 x1?1?2,x2?1?2. 当x?1?2,或x?1?2时,f?(x)?0; 当1?2?x?1?2时,f?(x)?0.
故f(x)?x3?3x2?3x?2在(??,1?2)内是增函数，在(1?2,1?2)内是减函数，在
(1?2,??)内是增函数．
考查知识：函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
12. 证明：过抛物线y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1 解：y′=2ax－a（x1+x2）， y′|x?x1=a（x1－x2），即kA=a（x1－x2），y′|x?x2=a（x2－x1），即kB=a（x2－x1）. 设两条切线与x轴所成的锐角为?、β，则tan?=|kA|=|a（x1－x2）|， tanβ=|kB|=|a（x2－x1）|，故tan?=tanβ. 又?、β是锐角，则?=β.