例2 (1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________.
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是________.
①正方形； ②矩形； ③菱形；
④一般的平行四边形. 答案 (1)
62
a (2)③ 16
解析 (1)如图①②所示的实际图形和直观图，
13
由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′
24＝
261166
O′C′＝a.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2. 2822816
(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42 cm，CD＝C′D′＝2 cm.
∴OC＝OD＋CD＝?42?＋2＝6(cm)， ∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形. 思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出.
(2016·镇江模拟)如图所示，△A′B′C′是△ABC的直观图，且△A′B′C′是
2
2
2
2
6
边长为a的正三角形，则△ABC的面积为________.
答案
62a 2
解析 建立如图所示的坐标系xOy″，△A′B′C′的顶点C′在y″轴上，边A′B′在x轴上，把y″轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，在y轴上取点C使OC＝2OC′，A，B点即为A′，
B′点，长度不变.
已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，
OC′A′C′由正弦定理得＝，
sin∠OA′C′sin 45°
sin 120°6
所以OC′＝a＝a，
sin 45°2所以原三角形ABC的高OC＝6a， 162
所以S△ABC＝×a×6a＝a.
22
题型三 求空间几何体的表面积
例3 (1)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为______. 答案 12
解析 由题意知该六棱锥为正六棱锥，∴设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′. 11
由题意，得×6××2×3×h＝23，
32∴h＝1，∴斜高h′＝1＋?3?＝2， 1
∴S侧＝6××2×2＝12.
2
2
2
7
(2)(2016·苏州模拟)如图，斜三棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA′与底面相邻两边AB与AC都成45°角，求此斜三棱柱的表面积.
解 如图，过A′作A′D⊥平面ABC于D，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
连结A′E，A′F，AD. 则由∠A′AE＝∠A′AF，
AA′＝AA′，
又由题意知A′E⊥AB，A′F⊥AC， 得Rt△A′AE≌Rt△A′AF， ∴A′E＝A′F，∴DE＝DF， ∴AD平分∠BAC，
又∵AB＝AC，∴BC⊥AD，∴BC⊥AA′， 而AA′∥BB′，∴BC⊥BB′， ∴四边形BCC′B′是矩形，
∴斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin 45°＋ab＝(2＋1)ab. 又∵斜三棱柱的底面积为2×
323
a＝a2， 42
32
a. 2
∴斜三棱柱的表面积为(2＋1)ab＋
思维升华 (1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况.
(2)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理.
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
3
跟踪训练3 一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm. 2
8
(1)求三棱台的斜高；
(2)求三棱台的侧面积和表面积.
解 (1)设O1、O分别为正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则
O1O＝，过O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，则D1D为三棱台的斜高；
32
3
过D1作D1E⊥AD于E，则D1E＝O1O＝，
2因为O1D1＝
333
×3＝，OD＝×6＝3， 626
33
＝. 22
则DE＝OD－O1D1＝3－在Rt△D1DE中，
D1D＝D1E2＋ED2＝ ?3?2＋?3?2＝3(cm). ?2??????2?
故三棱台的斜高为3 cm.
(2)设c、c′分别为上、下底的周长，h′为斜高，
S侧＝(c＋c′)h′＝(3×3＋3×6)×3＝S表＝S侧＋S上＋S下＝
＝
9932
(cm). 4
12122732
(cm)， 2
2733232
＋×3＋×6 244
27329932
故三棱台的侧面积为 cm，表面积为 cm.
24
题型四 求简单几何体的体积
例4 (2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________. 答案
7
121222
解析 设新的底面半径为r，由题意得πr·4＋πr·8＝π×5×4＋π×2×8，解得r33＝7.
9
思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.
答案
2
3
解析 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连结DG，CH，容易求得EG＝
HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝
123， 2
122
∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
224
12122
∴V＝VE－ADG＋VF－BCH＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝×××2＋×1＝. 34243题型五 与球有关的切、接问题
例5 (2016·扬州模拟)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，
AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________.
答案
13
2
解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M.
10