15
又AM＝BC＝，
22
OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝
引申探究
1252132
??＋6＝. 22
1.已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？
解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r. 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 4433
从而V外接球＝πR＝π×(23)＝323π，
33
V内切球＝πr3＝π×23＝
434332π
. 3
2.已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？
解 正四面体的表面积为S1＝4·
3122
·a＝3a，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝44
2
2
166πaS13a632
·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr＝，则＝＝. 43126S2πa2π
63.已知侧棱和底面边长都是32的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？ 解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为3
122
?32?－?×6?＝3，
2
因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.
思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，
2×
2＝6，高为
PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.
(2016·全国丙卷改编)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若
AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.
答案
9π 2
解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V
11
9π
的最大值为. 2
15.巧用补形法解决立体几何问题
典例 (2016·盐城模拟)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且
AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，则此几何体的体积为________.
思想方法指导 解答本题时可用“补形法”完成.“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等. 解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V111
＝V三棱柱＝×S△ABC×AA′＝×24×8＝96. 222
几何体
答案 96
1.给出下列命题：
①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点； ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱. 其中正确命题的序号是________. 答案 ①
2.(2016·连云港模拟)五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它
12
的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为________. 答案 10
解析 如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条).
3.用平面α截球O所得截面圆的半径为3，球心O到平面α的距离为4，则此球的表面积为________. 答案 100π
解析 依题意，设球半径为R，满足R＝3＋4＝25， ∴S球＝4πR＝100π.
4.(2016·镇江模拟)若直观图为如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原图形的面积为________.
2
2
2
2
答案 2＋
2
2
解析 如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°， ∴BE＝
2
.而四边形AECD为矩形，AD＝1， 2
∴EC＝AD＝1. ∴BC＝BE＋EC＝
2
＋1. 2
由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形.
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝
2
＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，2
13
11?22?
∴原图形的面积为S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝×?1＋1＋?×2＝2＋. 22?22?5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为________.
5
答案 π
6
?为过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为∠A1AE＝解析 由题意，图中弧EFππ?的长为2×π＝π.弧FG?为不过球心的平∠BAF＝，所以∠EAF＝，由弧长公式知弧EF6663面与球面相交所得小圆的一段弧，其圆心为B，因为球心到平面BCC1B1的距离d＝3，球的π22?的长为1×π＝π.半径R＝2，所以小圆的半径r＝R－d＝1，又∠GBF＝，所以弧FG2225π
故两段弧长之和为.
6
6.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为________.
答案
2
解析 由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为2.∵ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴侧面ABB1A1的面积为2×1＝2.
7.已知四面体ABCD满足AB＝CD＝6，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________. 答案 7π
解析 (图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连结AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝6，∴AE＝1010
.同理BE＝.取AB的中点为F，22
14
1610
连结EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1.取EF22217
的中点为O，连结OA，则OF＝.在Rt△OFA中，OA＝.同理得OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面
22体的外接球的半径是
7
，∴外接球的表面积是7π. 2
8. 如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.则三棱锥P－ABC体积的最大值为________.
1答案 3
1
解析 VP－ABC＝PO·S△ABC，当△ABC的面积最大时，三棱锥P－ABC体积达到最大值.当CO⊥AB3111
时，△ABC的面积最大，最大值为×2×1＝1，此时VP－ABC＝PO·S△ABC＝. 233
9.(2016·徐州、连云港、宿迁联考)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，
AA1＝1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为________.
答案
2
解析 因为AA1⊥平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以AA1⊥AB1，又知AA1＝1，A1B1＝2，所以AB1＝2－1＝3，同理可得AC1＝3，又知在△AB1C1中，B1C1＝2，所以△AB1C1的B1C1上的高1
为h＝3－1＝2，其面积S?AB1C1＝×2×2＝2，于是三棱锥A—A1B1C1的体积
2
2
2
12V三棱锥A—A1B1C1?V三棱锥A1—AB1C1=?S?AB1C1?AA1?,进而可得此三棱柱ABC—A1B1C1的体积
33V?3V三棱锥A—A1B1C1=3?2?2. 310.(2016·盐城一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________.
15