数学建模竞赛参赛队员的选拔与组队问题
摘要：本论文通过构建数学模型,根据层次分析理论,运用求权重的方
法,去解决在数学建模竞赛活动中,任何一个参赛院校都会遇到的如何选拔最优秀的队员和科学合理的组队问题.论文主要针对三个问题,构建了各自相对应的数学模型,并利用Excel分析数据、Matlab编程,求得了问题的结果.
关键词：队员选拔与组队;数学建模;层次分析法;权重系数;逐次优选.
1问题提出
在一年一度的美国MCM和中国全国大学生数学建模竞赛活动中，任何一个参赛院校都会遇到如何选拔最优秀的队员和科学合理的组队问题.这是一个最实际的、而且是首先需要解决的数学模型问题.
现假设有20名队员准备参加竞赛,根据队员的能力和水平要选出18名优秀队员分别组成6个队,每个队3名队员去参加比赛.选择队员主要考虑的条件依次为有关学科成绩（平均成绩）,智力水平（反映思维能力、分析问题和解决问题的能力等）、动手能力（计算机的使用和其他方面实际操作能力）、写作能力、外语水平、协作能力（团结协作能力）和其他特长每个队员的基本条件量化后如下表. 队员的基本条件 表1
条件数值学科成 智力水 动手能 写作能 外语水 协作能 其他特 - 1 -
队员 A B C D E F G H I J K L M N O P 绩（?） 平（??） 力（Ⅲ） 力（Ⅳ） 平（Ⅴ） 力（Ⅵ） 长（Ⅶ） 8.6 8.2 8.0 8.6 8.8 9.2 9.2 7.0 7.7 8.3 9.0 9.6 9.5 8.6 9.1 9.3 8.4 9.0 8.8 8.6 8.9 8.4 9.2 9.6 8.0 8.2 8.1 8.2 9.1 9.6 8.3 8.7 8.4 8.0 8.2 8.1 8.5 8.3 8.5 8.2 9.0 9.8 8.4 8.6 8.0 8.1 8.3 8.2 8.8 8.6 9.4 8.0 6.5 8.5 9.6 7.7 7.9 7.2 6.2 6.5 6.9 7.8 9.9 8.1 8.1 8.4 8.8 9.2 7.9 7.7 9.2 9.7 8.6 9.0 9.1 8.7 9.6 8.5 9.0 8.7 9.0 9.0 8.8 8.6 8.4 9.5 9.1 9.6 9.7 9.2 9.0 9.2 9.7 9.3 9.4 9.5 9.7 9.3 9.0 9.4 9.5 9.1 Q R S T 6 2 8 8 9 6 9 6 5 4 5 6 7 5 5 6 7 8.7 7.8 9.0 8.3 8.1 8.8 9.2 9.6 9.5 9.1 7.6 7.9 8.7 9.0 7.7 9.2 9.6 9.0 8 9 6 假设所有队员接受了同样的培训,外部环境相同,竞赛中不考虑其他的随机因素的影响,竞赛水平的发挥只取决于表1中所给的各项条件,并且参赛队员都能正常发挥自己的水平,现在的问题是：
(i) 在20名队员中选择18名优秀队员参加竞赛; (ii) 确定一个最佳的组队使竞赛技术水平最高;
(iii) 给出由18名队员组成6个队的组队方案，使整体竞赛技术 水平最高,并给出每个队的竞赛技术水平.
2合理假设
2.1假设问题给出的数据均为可供分析的可靠数据,不存在错误数据;
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2.2假设每个队员在参赛以前接受相同的培训,相同的外部环境，在参赛过程中不考虑随机因素;
2.3假设题中的7个条件指标的影响程度是逐渐降低的; 2.4假设各个队员都能正常发挥如表1中的水平; 2.5假设各个队在参赛中是相互独立,不互相影响的; 2.6符号说明
A,B,CIRI,S,T:分别表示20名队员的代码;
:一致性指标; :随机一致性指标;
CR:一致性比率;
?max:成对比较阵的最大特征值;
?(2):准则层对目标层的特征向量;
W
:方案层对准则层的特征向量;
?(3):方案层对目标层的特征向量; Ci(i?1,,7):依次为7个条件指标的代号;
f:竞技水平函数;
?:个人对准则层的权重.
3 模型构建与求解
3.1 构建挑选18名优秀队员参加竞赛的数学模型并求解 根据题意及假设,运用层次分析法构建数学建模竞赛在20名队员中选择18名优秀队员参赛的数学模型.
将18个要选出参赛的队员作为目标层,7个条件指标作为准则
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层,20个队员作为方案层,从而构成如下的层次结构图.
目标层O
选拔优秀队 准则层C 学科 智力 动手 写作 外语 协作 其他 方案层P
A B C D…… T
根据题意及假设可知,7个条件指标是依次递减的,不妨假设7个条件指标的权重依次为7,6,5,4,3,2,1.所以得到如下的正互反矩阵:
??1??1?2?1??3?1A???4?1??5?1?6??1?7?21121314151632112131415??4567?3456???2345? -------------------------(1)
??1234???1123?2?1112??32?1111??432??1?用MATLAB编程计算（1）式给出的A的最大特征值?max及其对应的特
征向量?,运行后得:
?1?最大特征值为: ?max=7.1973.
设n?7,则 一致性指标: CI
?2??(1)?max?nn?1=0.0329.
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随机一致性指标: RI?2??1.3200. 一致性比率: CR(2)CI(2)0.0329?(2)??0.0249. RI1.3200因为CR(2)?0.1,所以判断矩阵A通过一致性检验.
?1?因此?max所对应的特征向量为:
(-0.74437, -0.5041,-0.33334,-0.21772,-0.14196,-0.094062,-0.065499)T
经过归一化后得到
??2??(0.35428,0.23993,0.15865,0.10362,0.067565,0.044769,0.031175)T
也就是学科成绩,智力水平,动手能力,写作能力,外语水平,协作能力,其他特长7个准则对选拔优秀队这个目标的权重.
下面考虑方案层对准则层的特征向量,设表1中的各队员的条件数值所构成的矩阵为B??bij?,其中i?1,2,,20;j?1,2,,7. 特征矩阵为: W?(wij) i?1,2,其中
wij?bij20,2j0?;1,2. ,(i?1,2,ij,20;j?1,2,,7) -----------------------(2)
?bi?1?2?该矩阵归一化处理，必定为一致阵.所以W的最大特征值?max=20,所以其
CI?3?,RI?3?,CR?3?都为0.
用Excel表格处理表1中的数据,得 表2 P-C层特征向量
P-C C1 0.0498 0.0475 C2 0.0522 0.0511 C3 0.0473 0.0467 C4 0.05 0.0407 C5 0.0452 0.044 C6 0.0508 0.0487 C7 0.0472 0.0157 PA PB
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