例4 药物动力学中静脉恒速注射的一室模型
把剂量为D0的丹参注射液在T一段时间内以恒速（速度k0=D0）滴入人体，人T体内药物量用x表示，显然当t=0时，x=0，求体内血药浓度C随时间t的变化规律．
分析 人体内除了有药物输入这一输入速度外，同时还有一个消除速度记为kx，这样体内药物量x变化的数学模型为
dx=-kx+k0 (1) dt 其中k为消除速度常数．由方程和初始条件可求得血药浓度C随时间t的变化规律．
dx=-kx+k0是一阶线性微分方程，常数变易法解之． dtdx对应的齐次方程为=-kx，分离变量得x=ce-kt，将x=c(t)e-kt代入方程
dt解（一）
kdx=-kx+k0中，得c(t)=0ekt+c1，则x=dtk骣k0ktk0-kt-kt÷?e+ce=1+ce÷()，由 ?11÷?桫kk初始条件t=0时，x=0得c1=-1，故x=k01-e-kt) (k两端再除以表现分布容积V，则血药浓度方程为
k-e-kt ) C(t)=0(1kV当滴注完了时(t=T时)的体内血药浓度为
D0=-(e1-kT． ) C(T)kVTdx解（二）由=-kx+k0，t=0时，x=0是初始条件，用拉普拉斯变换求解．
dt设X(s)=L(s)，则x(0)=0，对方程(1)两端取拉氏变换
骣dx÷ L?=-kL(x+)Lk0( )÷?÷?桫dt整理后得
k0k0骣11÷ X(s)==?-÷, ?桫s(s+k)k?ss+k÷取拉氏逆变换，可得
6
x=k0(1-e-kt )kk0(1-e-kt )kVD0kVT两端再除以表现分布容积V，则血药浓度方程为 C(t)=当滴注完了时(t=T时)的体内血药浓度为 C(T)=
例5 药物动力学中快速静脉注射的二室模型
在一次快速静脉注射给药的情况下，如快速静脉注射柴胡注射液、葡萄糖注射液等，其药物动力学过程可用下图所示的二室模型来模拟．其中一室常代表血液及血流灌注充沛的器官和组织，二室表血流灌注贫乏的组织，
1x1k10ˉk12k212x2
-(e1-kT． )k10,k12,k21都是一级速率常数．设静脉注射的剂量为x0，在时刻t，一室和二室中的药量分别为x1和x2，且当t=0时，x1=x0,x2=0．试求一室和二室药量随时间变化的规律．
分析 在时刻t，一室和二室中的药量分别为x1和x2，其数学模型为下列微分方程组
ì???? í??????dx1=k2x1-2(k+1k2)x101dt (1)
dx2=k1x2-1kx.212dt由方程和初始条件可求得一室和二室药量x1和x2随时间的变化规律． 解 用拉普拉斯变换求解，设L[x1(t)]=X1(s),L[x2(t)]=X2(s)，对方程组(1)两端取拉氏变换得
ìsX-)s?1(? í?)=s2(??sX解得
0x=k21k(X)s(+2-1k22112X(1-)sk(X2).s)1k
(X),s7
X1(s)=x0(s+k2)1 2s+(k12+k+2k1)s+1k0k2110设-α和-β是s2+(k12+k21+k10)s+k21k10=0的两个根，由判别式可知
α1β，则有
s2+(1k2+k2+k)1于是
X1(s)=10s+k21k(=αs+s)β( +),10x0(s+k2)1
(s+α)(s+β)取拉氏逆变换，即得一室药量随时间t的变化规律为
αt-βt(k2-)-e(k-2β1xe)1αx0- x1= 0β-α若以V1表示一室的表现分布容积，则血药浓度随时间的变化规律为 C(t)=类似地，可求出 X2(s)=k1xkx12020 =s2+(k12+k+k)s+kk(s+α)(s+β)21102110x0(α-k2)1-αtx(k0-β2)1-e+eV1(α-β)V1(α-β)βt
取拉氏逆变换，得二室药量随时间的变化规律为 x2=k1x2(0e-αt-e-βt)． β-α（注：本例选自＂生物数学学报＂2000,15(4):476-479董萍, 拉普拉斯变换在药物动力学中的应用）
例6 某医院采用I、II、III、IV四种方法医治某种癌症，在该癌症患者中采用4种方案的百分比分别为0.1，0.2，0.25，0.45，其有效率分别为0.97，0.95，0.94，0.9. 试求: (1)到该院接受治疗的患者,治疗有效的概率为多少?
(2)如果1名患者经治疗有收效, 最有可能接受了哪种方案的治疗? 解 分别记采用I、II、III、IV种方法治疗为事件A1,A2,A3,A4,
8
则P(A1)=0.1,P(A2)=0.2,P(A3)=0.25,P(A4)=0.45
治疗有效记为B, 则B伴随事件A1,A2,A3,A4之一的发生而发生 则P(B|A1)=0.97,P(B|A2)=0.95,P(B|A3)=0.94,P(B|A4)=0.9 由全概率公式有,
P(B)=?4P(Ai)P(B|Ai)=0.1?0.970.2?0.950.25?0.940.45?0.90.927.
i=1由贝叶斯公式P(Ak|B)=P(Ak)P(B|Ak)?4
P(Ai)P(B|Ai)97; 927i=1有P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)?4=P(Ai)P(B|Ai)i=1190235405;P(A3|B)=;P(A4|B)=. 927927927405取max{P(A1|B),P(A2|B),P(A3|B),P(A4|B)}=,所以最有可能接受了第IV
927P(A2|B)=种方案的治疗.
例7 某种动物雌性的最大生丰年龄为15年．以5年为间隔，把这一动物种群分为3个年龄组[0,5)，[5,10)，[10,15)．设初始时刻t0=0时，3个年龄组的雌性动物个数分别为
500, 1000, 500．利用统计资料，已知
*11a1=0,a2=4,a3=3,b1=,b2=．试分析该动物种群的年龄分布．
24*注释与分析 设第i(i=1,2,3)个年龄组的生育率为ai(i=1,2,3)，存活率为bi(bi表示第i年龄组中可存活到第i+1年龄组的雌性数与该年龄组总数之比，
i=1,2)．在不发生意外事件(灾害等)的条件下ai,bi均为常数，且
ai?0,0bi 1．由已知条件可知初始年龄分布向量X(0)=(500,1000,500)T．由
a20b29
骣a1珑珑b1莱斯利种群模型得莱斯利矩阵为L=珑珑珑珑珑0桫
a3鼢骣043鼢鼢0鼢=1/200． 鼢鼢鼢桫01/400鼢X(k)=LX(k-1)=LkX(0),k=0,1,2,分布进行分析．
.以下从莱斯利矩阵入手对该动物种群的年龄
骣043÷?÷?(0)T?÷解 由X=(500,1000,500)，L=?1/200÷． ÷?÷?÷?桫01/40÷于是，
骣04鼢3骣50 0骣 5500珑鼢 珑 0)鼢 鼢 1/20010=00250 X(1=)LX(=珑 珑 鼢 珑 鼢 珑鼢桫 珑 0桫1/4鼢05 0 250桫0骣04鼢3骣55 0骣0 1750珑鼢 珑 (珑1)鼢 鼢 1/2002=50 X(2=)LX= 2750珑 鼢 珑 鼢 珑鼢桫 珑0 5桫1/4鼢02 0 62.5桫骣0骣43鼢1750骣11000 珑 鼢 珑 (3)(2)鼢珑 X=LX=珑1/200鼢2750= 875 鼢 珑 鼢 珑 鼢62.5 珑 687.5 桫01/40鼢桫桫为了分析k时，该动物种群年龄分布向量的特点．先求出矩阵L的特征值和
特征向量．L的特征多项式
骣λ-4-3÷?÷?3231?÷λ0÷=(λ-)(λ-λ+) det(λE-L)=?-1/2÷?÷224?÷?-1/4λ÷桫0得L的特征值λ1=3-3+5-3-5,λ2=,λ3=. 显然λ1是矩阵L的唯一正特244征值， 且λ1>λ2,λ1>λ3，因此矩阵L可与对角矩阵相似．
设矩阵L属于特征值λi的特征向量为αi(i=1,2,3)．不难计算，L的属于特征
3值λ1=的特征向量α1=2骣11÷?记矩阵P=(α1,α2,α3),Λ=diag(λ1,λ2,λ3), 1,,÷．??桫318÷T则
PΛ或L=PΛP-1 P-1L=)-LkX(=0)ΛPk于是， X(k=P 1X 10
骣100÷?÷-1?k?÷P?0(λ2/λ)k10÷PX =λ1÷?÷?÷?00(λ3/λ1)k÷桫(0
骣骣k骣λ2鼢λ31(k)?珑鼢即 kX=Pdiag?1,,珑?鼢珑鼢?λ1λ1桫λ?桫桫因为
k÷-1÷ PX÷÷1÷(0)λλ2<1,3<1，所以 λ1λ11(k)(0) lim． XX=Pd(ia1g),-0,10Pkkλ1记列向量P-1X(0)的第一个元素为c(常数)，则上式可化为
骣c÷??÷1÷0÷=cα1 limkX(k)=(α1,α2,α3)??÷k?÷λ1?÷?0÷桫于是，当k充分大时，近似地成立
骣1÷?÷骣?3(k)k÷÷?÷1/3 X=cλ1α1=c? (c为常数) ÷??÷÷??÷桫2?÷?1/18÷桫k 这一结果说明，当时间充分长，这种动物中雌性的年龄分布将趋于稳定：即3
11个年龄组的数量比为1::，并由此可近拟得到tk时种群中雌性动物的总量，
318从而对整个种群的总量进行估计．
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