123?n?1n?1100??2n?2110?????111?2.2.4 逐行相加减
对于有些行列式，虽然前n行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．
00?100?0???1?n?1?n?1?2n?2.
?a10例5 计算行列式D?a1?a20?01000?n0a2?01000?0n?1????000?1000?an1.
0?01?a3???an解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：
?a10D?0?010?a20?0200?03?????a3?
??an???1?2n?2??1?n?n?1?a1a2?an???1?n?n?1?a1a2?an.
2.3 降阶法
将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开
x0例6 解行列式Dn??1x0?0an?10?1x?0?????000?x000. ??1a10?0anan?2?a2解：按最后一行展开，得
Dn?a1xn?1?a2xn?2???an?1x?an.
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2.3.2 按拉普拉斯公式展开
拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了k?1?k?n-1?个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即
D?M1A1?M2A2???MnAn，其中Ai是子式Mi对应的代数余子式．
即
AnnCnnAnn00Bnn?Ann?Bnn，
Cnn?Ann?Bnn. Bnn?b例7 解行列式Dn?b?baaa?????aa???????????.
??a?a???解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得
?bDn?0?0a?????0?????0??0??0
???0????aa?a?b?0?0?.
2.4 升阶法
?n?1?a???n?2??0?0?????0??0??0???0????0?0??????????n?2????n?1?ab??????n?20?????b?n?1?a???n?2???????0就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升
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阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．
其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．
011?11101?11例8 解行列式D=
110?11??????111?01111?10.
解：使行列式D变成n?1阶行列式，即
111?11001?11D?010?11??????011?01011?10再将第一行的??1?倍加到其他各行，得：
.
1?1??1?110?0010?00????100?0100?0?1.
?1?1D=
?1???1从第二列开始，每列乘以??1?加到第一列，得：
?（n?1)0D?0?001?10?0010?00????100?0100?0?1
?1???1???1?n?1?n?1?.
2.5数学归纳法
有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法
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去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．
cos?1例9 计算行列式Dn?12cos?1?0001?00????000?1000?12cos?.
0?002cos???2cos?解:用数学归纳法证明. 当n?1时，D1?cos?. 当n?2 时，D2?cos?11?2cos2??1?cos2?.
2cos?猜想，Dn?cosn?.
由上可知，当n?1，n?2时，结论成立．
假设当n?k时，结论成立．即：Dk?cosk?.现证当n?k?1时，结论也成立．
cos?1当n?k?1时，Dk?1?12cos?1?0001?00????000?1000?12cos?.
0?002cos???2cos?将Dk?1按最后一行展开，得
cos?Dk?1???1?k?1?k?112cos?1?012cos?1?000?000
?2cos?10?01?2cos???0???2cos??0cos????1?k?1?k10?01?02cos??0 ?0???1 8
?2cos?Dk?Dk?1.
因为
Dk?cosk?，Dk?1?cos?k?1???cos?k?????cosk?cos??sink?sin?，
所以
Dk?1?2cos?Dk?Dk?1
?2cos?cosk??cosk?cos??sink?sin? ?cosk?cos??sink?sin?
?cos?k?1??.
这就证明了当n?k?1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：Dn?cosn?. 2.6 递推法
技巧分析：若n阶行列式D满足关系式
aDn?bDn?1?cDn?2?0.
则作特征方程
ax2?bx?c?0.
n?1n?1① 若??0，则特征方程有两个不等根，则Dn?Ax1． ?Bx2n?1② 若??0，则特征方程有重根x1?x2，则Dn??A?nB?x1．
在①②中， A，B均为待定系数，可令n?1,n?2求出．
9500?0004950?000例10 计算行列式Dn?0495?000????????0000?4950000?049.
解：按第一列展开，得
Dn?9Dn?1?20Dn?2.
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