即
Dn?9Dn?1?20Dn?2?0．
作特征方程
x2?9x?20?0.
解得
x1?4,x2?5.
则
Dn?A?4n?1?B?5n?1.
当n?1时，9?A?B； 当n?2时，61?4A?5B. 解得
A??16,B?25，
所以
Dn?5n?1?4n?1.
3、行列式的几种特殊计算技巧和方法 3.1 拆行（列）法 3.1.1 概念及计算方法
拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析
1?a1?1例11 计算行列式Dn?a21?a2?1?000a3??000??1000?an1?an.
0?001?a3???00??1?an?1解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得
10
1?a10?0?0?00?010?00?a10?0?00a2?1?00a21?a2?1?00a2?1?000a3?000a3?00??0a31?a3?00000?????000?an000??1000?an1?an
?1?01?a2Dn??1?an?1?11?a2?1?a3????1?an?1?????1000?1?an000?.
1?a3??1?an?1an??11?an上面第一个行列式的值为1，所以
1?a2Dn?1?a1?1?00a3?a3???00?00??100?an1?an
?1?an?1?1?a1Dn?1.
这个式子在对于任何n?n?2?都成立，因此有
Dn?1?a1Dn?1
?1?a11?a2Dn?2???1?a1?a1a2?????1?a1a2?an
n?1???1????1??aj.
i?1j?1nii 11
3.2 构造法
3.2.1 概念及计算方法
有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析
1x1x12例12 求行列式Dn??x1n?2x1n1x22x2??????1xn2xn. ?n?2n?2x2?xnnx2nxn解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n?1阶的范德蒙德行列式来间接求出Dn的值．
构造n?1阶的范德蒙德行列式，得
1x1f?x??x12?x1n?2x1n?1x1n1x22x2????1xn2xn1xx2?xn?2xn?1xn.
?n?2x2n?1x2nx2?n?2?xnn?1?xn?nxn将f?x?按第n?1列展开，得
f?x??A1,n?1?A2,n?1x???An,n?1xn?1?An?1,n?1xn，
其中，xn?1的系数为
An,n?1???1?又根据范德蒙德行列式的结果知
n??n?1?Dn??Dn.
f?x???x?x1??x?x2???x?xn?由上式可求得xn?11?j?i?n??xi?xj?.
的系数为
12
??x1?x2?xn?故有
1?j?i?n??xi?xj?.
?xj?.
Dn??x1?x2???xn?3.3 特征值法 3.3.1 概念及计算方法
1?j?i?n??xi设?1，?2，??n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式
A??1?2??n.
故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出A的行列式． 3.3.2 例题解析
例13 若?1，?2，??n是n级矩阵A的全部特征值，证明：A可逆当且仅当它的特征值全不为零．
证明：因为A??1?2??n，则
A可逆?A?0??1?2??n?0??i?0?i?1,2?n?.
即
A可逆当且仅当它的特征值全不为零．
4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法 4.1 三角形行列式 4.1.1 概念
a11形如
a12a22a13?a1na11a22a32?an2a33??an3?ann这样的行列式，形状像个三角形，
a23?a2na21a33?a3n，a31???annan1故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，
13
a1100?0a12a220?0a13?a1na110a22a32?an20?000?a11a22?ann. ?a23?a2na21a33?a3n?a11a22?ann,a31?0???an1?ann0?a33???an3?ann4.2 “爪”字型行列式 4.2.1 概念
a0c1形如c2?cnan?b1a1b2a2?bn，
bn?b2a2?b1a1a0cn?a2a1b1b2an，
?ancna2a1anc1?c2，c2?c1cna0?bn?c2这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． c1a0bn?b2b14.2.2 计算方法
利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析
a11例14 计算行列式1?11a21a3?1，其中ai?0,i?1,2,?n.
?an分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第i(i?2,3,?n.)列元素乘以
?1后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式． ai 14