第七章 第57讲 放缩法证明不等式 数列
2??Sn?为等差数列
（2）思路：先利用（1）可求出Sn的公式进而求出bn?2nn，则放缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。 解：令n?1代入an?11，考虑进行?bn2nn1?2Sn可得： ana1?1?2a1?a1?1即S1?1 a122由Sn为等差数列可得：Sn?S12??n?1??n
???Sn?n ?bn?2nn ?11 ?bn2nn31? 2n考虑先证Tn?11??bnn?2nn?n?2时
1?n?1?n??n?n?1n?n?111????n?2?
nn?1nn?n?1?Tn?1?1??11???1???????b1?2??23?13??1 221?1131?1 ?????1????2n?n2n?n?1n?1时，T1??Tn?31? 2n1 n?1再证Tn?1?11??bnn?2nn1?n?1?n??n?1?nn?1?n11 ???nnn?1n?n?1?太和亮剑教育 高考专项突破精准辅导案 微信公众号：thljjy0209
第七章 第57讲 放缩法证明不等式 数列
1??11???Tn??1???????2??23??综上所述：1?1?1?1 ????1??n?1?n?1?n131 ?Tn??2n?1n小炼有话说：本题在证明中用到一个常见的根式放缩：
n?1?n?111???n?n?1 n?1?n2nn?n?12?1?例4：已知数列?an?满足a1?2,an?1?2?1??an,n?N?
?n?（1）求证：数列??an?是等比数列，并求出数列?an?的通项公式 2??n??cn?2（2）设cn?n，求证：c1?c2?an217 24?n?1?a?1?解：（1）an?1?2?1??an?2?n 2n?n??an?1?n?1?2?2?an?an? ??2?是公比为2的等比数列 2n?n??an?a1?n?1??2??2?2n 2n?1??an?n2?2n
（2）思路：cn?n1，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等?nann?2号：?），若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有n，故分子分母通乘以?n?1?，再进行放缩调整为裂项相消形式。 解：cn?n1n?1?? nnann?2n?n?1?2而
2n??n?1?11n?1 ???n?1nnnn?2n?n?1?2n?n?1?2?n?1?2太和亮剑教育 高考专项突破精准辅导案 微信公众号：thljjy0209
第七章 第57讲 放缩法证明不等式 数列
所以cn?n?1n?111????n?2?
n?n?1?2nn?n?1?2n?n?1?2n?1n?2n?1111?cn?c1?c2?c3??????3?234?244?245?25??11??? n?1n??n?12n?2???c1?c2? ?1111117117??????? ?n?3? 282424n?2n24n?2n241617? cn?0 ?c1?c1?c2?c1?c2?c3?2424小炼有话说：（1）本题先确定放缩的类型，向裂项相消放缩，从而按“依序同构”的目标进行构造，在构造的过程中注意不等号的方向要与所证一致。
（2）在求和过程中需要若干项不动，其余进行放缩，从而对求和的项数会有所要求（比如本题中n?3才会有放缩的情况），对于较少项数要进行验证。
例：已知数列?an?的前n项和Sn?nan?3n?n?1?,n?N?，且a3?17 （1）求a1
（2）求数列?an?的前n项和Sn
（3）设数列?bn?的前n项和Tn，且满足bn??n23n?2 ，求证：Tn?Sn3解：（1）在Sn?nan?3n?n?1?,n?N中，令n?2,n?3可得：
?a1?a2?2a2?6?a2?a1?6? ???a1?a2?a3?3a3?18?a1?a2?16?a1?5,a2?11
（2）Sn?nan?3n?n?1? ①
Sn?1??n?1?an?1?3?n?1??n?2? ②
① ? ②可得：
an?nan??n?1?an?1?6?n?1???n?1?an??n?1?an?1?6?n?1? ?n?2? ?an?an?1?6
??an?是公差为6的等差数列
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?an?a1?6?n?1??6n?1
?Sn?nan?3n?n?1??n?6n?1??3n?n?1??3n2?2n
（3）由（2）可得：bn?n1 ?23n?2n3n?2?23n?2?3n?1?32?bn?13n?2?223n?2?bn??3n?2?3n?1
??Tn?b1?b2?2?5?2?8?5?3n?2?3n?1?
?3?223n?2?2?3n?2 ?33????????例6：已知数列?an?满足a1?1an?1,an??n?2,n?N? n4??1?an?1?2（1）试判断数列??1n????1??是否为等比数列，并说明理由 ?an?（2）设bn?ansin?2n?1??2，数列?bn?的前n项和为Tn，求证：对任意的n?N,Tn??4 71??1?an?1?22n????1?解：（1）an? ??nan?1an?1??1?an?1?2anan?1??1212?nnnn?1???1??2???1???????1????2?????1??? anan?1anan?1??n?1n??????1??为公比是?2的等比数列 ?an?（2）思路：首先由（1）可求出?an?的通项公式?an?13???2?n?1???1?n，对于
sin?2n?1??2可发现n为奇数时，sin?2n?1??2?1，n为偶数时，sin?2n?1??21??1，
结合?an?通项公式可将其写成sin?2n?1??2???1?n?1，从而求出cn?3?2n?1?1，无法直
接求和，所以考虑对通项公式进行放缩，可联想到等比数列，进而cn?13?2n?1?1?1，
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第七章 第57讲 放缩法证明不等式 数列
求和后与所证不等式右端常数比较后再进行调整（需前两项不动）即可。 解：
11???1??3，由（1）可得： a1?11n1?n?1n?1???1??????1?????2??3???2? an?a1??an?13???2?n?1???1?n
n?1而sin?2n?1??21???1??n?1 ?bn?an?sin?2n?1??2??1??n?1n3???2????1??13?2n?1?1
?bn?3?2n?1?11
3?2n?1?bn??b1?b2??11??233?23?2n?2当n?3时，Tn?b1?b2??1 n?13?21??1??1???1112???2? ???1471?2因为?bn?为正项数列 ?T1?T2?T3??????1?1?1?47?4
476847?Tn
??n?N?,Tn?4 733nan?1，且an?n?2,n?N?? ?22an?1?n?1例7：已知数列?an?满足：a1?（1）求数列?an?的通项公式
（2）证明：对于一切正整数n，均有a1?a2?解：（1）an??an?2?n!
3nan?1
2an?1?n?1?12an?1?n?1n2a?n?1n2n?1???n?1??? an3nan?1an3an?1an33an?121n即bn??bn?1
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设bn?