第七章 第57讲 放缩法证明不等式 数列
??6?n?1???6?n?1???6?n?1?a3????1?2a3????1?????1????????a3??a3??a3???????
?kn??3?3??3?2?6?a366?a3?12a3??6?n?1?????1?a????3??可视为以1为首项，6为公比的等比数列前n?1项和
??6a3?1a3?6?kn?3?2?1??a3???6?????a3?n??6??5?2??a????3?6?????a3?n?6?????a3?n?? ???6??kn?N ??n?N,2??a??3???N a3?N? ???a3能够被6整除 a3?1且a3?a5?6 ?a3?2或a3?3
经检验：a3?2或a3?3均符合题意
② 思路：所证不等式两侧均为数列求和的形式，所以先观察两侧是否有能直接求和的式子，从而化简一侧的表达式，由（1）和（2）①可知，
bn?1?1?bn，akn?2?3n?1，所以对于
bn?1右侧，
111显然无法直接找到求和方法。而对于，虽然没有通项公式，?bnakn?12?3n?1?1bn?1?1111?bn向可求和的方式进行变形，得到???n?2?，从而可
bn?1bnbn?1bn?1?1111???b1b2b3?121。对于右侧??bn3b1b2bn但可对
想到利用裂项相消的方式进行求和，得到
11??ak1?1ak2?1?111只能考虑进行放缩，针对的特点可向等?n?1akn?1akn?12?3?1111。所以??n?1n?1akn?12?3?13比数列靠拢，结合不等号方向可得：
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第七章 第57讲 放缩法证明不等式 数列
11??ak1?1ak2?1n11??1?????1????。于是所证的不等式就变为只需证明akn?16???3???2122121即证明考虑对进行放缩，抓住b1?3???n?1，?n?1，
3b1b2bn33b1b2bn3b1b2bn这个特点，由已知可得?bn?为递增数列，则bn?3，但右侧为证明，所以要对
23n?1?21?，无法直接放缩33n1b1b2bn的放缩进行调整，计算出b1,b2,b3可得
12?4，进而b1b2b331b1b2bn?11212??4?n?3?n?1，但此时只能证明n?4时，不等式成立。对b1b2b3b4bn333于n?1,2,3有限的项，逐次验证即可。 由（1）可得：
bn?1?1?bn
bn?1bn?bn?1??bn?1?1?11 ?bn?bn?1?bn?1?1?111 ??bn?1bnbn?1?1111 n?2 ??bnbn?1bn?1?1111???b1b2b3?1 bn?11?????
b?1b?1n?1?n????1?11??11??????????b1?b2?1b3?1??b3?1b4?1??111 ??b1b2?1bn?1?1b1?3,bn?1?b1b2?bn?1?1?b1b2?111???b1b2b3bn?1
bn
?111121????? bnb1b1b1b2bn3b1b2bn太和亮剑教育 高考专项突破精准辅导案 微信公众号：thljjy0209
第七章 第57讲 放缩法证明不等式 数列
当a3?2时，akn?2?3n?1
?111 ??n?1n?1akn?12?3?13n1??1???1????1?9??3??? ?n?1???13?1?3n?11??ak1?1ak2?1?1?11??2?3?akn?1?331??1? ??1???6???3??11?4????ak?1ak?12?1??? ??2?1?221??? ?n?n?13?3?331?1?1??4??1?n???akn?1?6?3??2122??n?1?n?3?即可 ?只需证明：?3b1b2bn33即证明：
1b1b2bn?23n?1
由b1?3,bn?1?b1b2bn?1可知?bn?为递增数列
?bn?b1?3?n?2?
由b1?3,bn?1?b1b2bn?1可得：b2?b1?1?4,b3?b1b2?1?13
3481?b1b2b3?3?4?13?156??
22?1211?4 n?3时，bn?3 ?? b1b2b33bn31b1b2bn?11212??4?n?3?n?1 b1b2b3b4bn333?n?3时，
当n?3时，可知
12?4成立 b1b2b33得证
?1b1b2bn?23n?1太和亮剑教育 高考专项突破精准辅导案 微信公众号：thljjy0209
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?n?3时，
2122???n?1?n?3? 3b1b2bn33?111??4????bn?ak1?1ak2?11?成立 ???akn?1?111????b1b2b3当n?1时，
141114?,4?? ??
b117b13ak1?117?11?1?117?1当n?2时，???4??? ?，4???ak?1ak?1?b1b212?1753?2?1??1111????4??
?ak?1ak?1??b1b22?1?111??综上所述：?b1b2b3
?111??4????bn?ak1?1ak2?11??恒成立 ??akn?1?太和亮剑教育 高考专项突破精准辅导案 微信公众号：thljjy0209