河源市2012—2013学年第一学期期末教学质量检测
高一数学参考答案
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．D．主要考查集合的简单运算、集合的表示方法及一元一次不等式等知识。 2．B．主要考查向量共线的条件及向量坐标运算。
3．D．主要考查函数的基本概念及函数相等的条件、对数函数的相关知识。 4．D．
5．C．主要考查函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|??)的图象变换。
6．B，主要考查二次函数的图象与性质、单调性的运用及数形结合的数学思想方法。 7．C．主要考查函数的基本性质和函数奇偶性的定义灵活运用，（结合三角函数）求函数（分段函数）的解析式的基本方法。
8．B．主要考查向量的基本概念及向量的平行关系、垂直关系，数量积等知识。 9．A．主要考查余弦函数的图象与性质、函数周期性的综合运用。
10．C．主要考查函数的零点与方程的根等知识、对正弦函数、对数学函数的图象性质的认识和理解；考查数形结合的数学思想方法。 二、填空题（每小题5分，共20分）
11．7。主要考查幂、对数、角的三角函数值等基本运算。 12．?5。主要考查三角诱导公式、同角间的三角函数关系的灵活运用。 213．（2，3）。考查幂函数的图象与性质、图象的变换。
14．(?1,0)?(1,??)。主要考查函数的基本性质，数形结合及函数、方程、不等式数学思想方法。
三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明或演算过程） 15．（本题满分14分）
主要考查同角间的三角函数关系的灵活运用；三角变换公式的灵活运用。 解：
f(x)??1(cos4x?sin4x)?3sinxcosx2
113(cos2x?sin2x)(cos2x?sin2x)?sin2xcos2x?sin2x?cos2x……2分 222?sin(2x??6)…………………………………………………………………………4分
（2）?f()?sin(2???2?1?1?)?， ?sin(??)?…………………………5分
62262?2???????…………………………… … ……………6分
2367?5?2?， 故?? …………………………………………8分 ????663?????，?又f(????3?3?，?sin(??)?，……………9分 ?)?sin[2(?)?]?622662262????????? ………………………………………………10分 31262??4???????6??3， 故 ???2………………………………………………………12分
?sin(???)?sin(2??2?1?)?cos?? ……………………………………14分 323216．（本题满分14分）
主要考查集合与集合的关系，指数函数的性质，分类讨论的数学思想方法。
解：（1）?y?2x?1(x?1)是增函数，?y?22?4…………1分
?A?{y|y?4}………………………………………………2分
11时，B?{y|y?1?0}?{y|y?5}………………3分 55 此时，BA……………………………………………………5分 （2）?A?B?B ?B?A ………………………………………6分
当 a?当a?0时，B??………………………………………………7分 满足B?A ………………………………………………………8分 当a?0时，B?{y|y?}，…………………………………9分
1a?1??4要使B?A，只需使?a，…………………………………10分
??a?01 ………………………………11分 411当a?0时，?0，B?{y|y?}， ………………………………12分
aa不能使B?A。 …………………………………………13分
1综上所述，0?a? 。………………………………………14分
4即0?a?17．（本题满分12分）
主要考查函数f(x)?Asin(wx??)及三角函数的图象与性质、三角变换公式的综合运用。考查学生的运算能力、综合运用能力。 解：（1）由图像知A?2， …………………1分
2?11?5???，得w?2 …………………3分 T?2?(?)??，由T?|w|1212?f(x)?2sin(2x??)
15?11?2??),?2)，即过点（,?2)， …………………………4分 2121232?得 2sin2(???)??2，
34?4??11?，k?Z sin(??)??1，????2k??,k?Z，??2k??3326由图像过点((当k?1时，得???6 …………………6分
?f(x)?2sin(2x?（2）?0?x??6) .…………………7分
?2,??6?2x??6?7? …………………8分 61????sin(2x?)?1，………………………………………………………………10分
26??1?2sin(2x?)?2
6?f(x)的取值范围为??1,2? …………………12分
18．（本题满分12分）
主要考查数学建模知识，函数模型的选择及函数在生产实践中的应用，分段函数、二次函数等值域的求法。考查学生运算能力，处理问题的分析能力。 解：（1）依题意，当0?x?5（百台）时，产品能全部售出，当x?5（百台），只能销售500台，所以
[来源学科网ZXXK]??(5x?0.5x2)?(0.5?0.25x) (0?x?5)L(x)??………………………………5分 2?(5?5?0.5?5)?(0.5?0.25x) (x?5) ??0.5x2?4.75x?0.5 (0?x?5)L(x)??…………………………………………7分
??0.25x?12 (x?5) （2）当0?x?5时，L(x)??0.5x?4.75x?0.5
对称轴x?4.75，图象开口向下，Lmax(x)?L(4.75)?10.78125（万元）………9分 当x?5时，L(x)??0.25x?12是减函数，
2L(x)??0.25?5?12?10.75（万元）………………………………………………11分
所以当年生产量为475台时，工厂所得年利润最大．………………………………12分。
19.已知指数函数y?g?x?满足：g(3)?8，又定义域为R的函数
f?x??n?g?x?m?2g?x?是奇函数.
（1）确定y?g?x?的解析式；
（2）求m,n的值；
（3）若对任意的t?R，不等式f?2t?3t2??f?t2?k??0恒成立，求实数k的取值范围．
解：（1） 设g?x??ax ?a?0且a?1?,则a3?8，
?a=2, ?g?x??2x，
n?2x（2）由（1）知：f?x??，
m?2x?1因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即
n?1?0?n?1 , 2?m1?2x∴f?x??x?1， 又f(?1)??f?1?，
2?m11?2?2=??m?2； m?14?m1?1?2x11（3）由（2）知f(x)?， ???2?2x?122x?1易知f(x)在R上为减函数. 又因f(x)是奇函数，从而不等式：
f?2t?3t2??f?t2?k??0
等价于f?2t?3t2???f?t2?k?=f?k?t2?， 因f(x)为减函数，由上式得：2t?3t2?k?t2,…… 即对一切t?R有：2t2?2t?k?0，
12从而判别式????2??4?2?k?0?k?.
2
20．（本题满分14分）
主要考查向量的线性运算及向量共线条件、数量积、二次函数等知识，考查等价转换的数学思想方法。
解：设OC?(x,y)， ?C为直线OP上的一动点，且OP?(2,1)
?OC//OP，x?2y,y?1x…………………………… 2分 21由CA?OA?OC?(1,7)?(x,y)?(1?x,7?y)?(1?x,7?x)……………3分
21x)……………… 4分 21155CA?CB?(1?x)(5?x)?(7?x)(1?x)?x2?10x?12?(x?4)2?8… 5分
22441故当x?4时，(CA?CB)min??8，此时，y??4?2，
2CB?OB?OC?(5,1)?(x,y)?(5?x,1?y)?(5?x,1??OC?(4,2)……………………………………6分
（2）由（1）知OC?(4,2)时，CA?CB??8，CA?(?3,5),CB?(1,?1)
|CA|?9?25?34,|CB|?1?1?2………………………………7分
cos?ACB?CA?CB|CA|?|CB|……………………………………………………8分
??8417??…………………………………………………………9分
1734?22（3）在（2）的条件下，f(t)?t?4t?m?cos?ACB在t?[?4,4]恒成立，
等价于t2?4t?m?cos?ACB??417在t?[?4,4]恒成立，…………10分 17等价于，m??t2?4t?417在t?[?4,4]恒成立…………………………11分 17令g(t)??t2?4t?417417，t?[?4,4]，则m??t2?4t?在t?[?4,4]恒成立 1717等价于m?[g(t)]max…………………………12分 由g(t)??t2?4t?417417， t?[?4,4]??(t2?2)2?4?，t?[?4,4]得 1717[g(t)]max?4?417………………………………………………13分 17417417?m?[4?,??]………………………………14分。 1717m?[g(t)]max?4?