2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第5讲 椭圆试
题 理 新人教版
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
x2y2
1.椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于( )
m4
A.5
B.3
C.5或3
D.8
解析 当m>4时，m－4＝1，∴m＝5；当0 2.“2 x2 m－26－m＋y2 ＝1表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 解析 若 D.既不充分也不必要条件 x2 m－26－m＋y2 ＝1表示椭圆. m－2>0，?? 则有?6－m>0，∴2 ??m－2≠6－m， 故“2 x2 m－26－m＋ y2 ＝1表示椭圆”的必要不充分条件. x2y2 3.设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠ abPF1F2＝30°，则C的离心率为( ) A.3 6 1B. 3 1C. 2 D. 3 3 解析 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝3.故e＝2c|F1F2|3＝＝.故选D. 2a|PF1|＋|PF2|3答案 D 12 4.(2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y＝ 28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( ) A.3 2 B.6 C.9 D.12 解析 抛物线C：y＝8x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x＝－2.从而椭圆E的半焦距c＝ x2y2c122 2.可设椭圆E的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，因为离心率e＝＝，所以a＝4，所以b＝a－ aba2 2b12 c＝12.由题意知|AB|＝＝2×＝6.故选B. a4 2 2 答案 B 5.(2016·江西师大附中模拟)椭圆ax＋by＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为 3 2 23B. 3 3b，则的值为( ) 2a93 C. 2 23D. 27 2 2 A. 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则ax1＋by1＝1，ax2＋by2＝1， 2 by21－by2 即ax－ax＝－(by－by)，2＝－1， ax1－ax22 2 1 22 21 22 2 2 2 2 b（y1－y2）（y1＋y2）b3 ＝－1，∴×(－1)×＝－1， a（x1－x2）（x1＋x2）a2 ∴＝ b23 ，故选B. a3 答案 B 二、填空题 6.焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________. 2c＝8，??a＝5，??解析 由题意知?c解得? c＝4，＝0.8，????a又b＝a－c，∴b＝9，∴b＝3. 当焦点在x轴上时，椭圆方程为当焦点在y轴上时，椭圆方程为答案 ＋＝1或＋＝1 259259 ＋＝1， 259＋＝1. 259 2 2 2 2 x2y2 y2x2 x2y2y2x2 7.(2017·昆明质检)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时， 925点P的坐标是________. 解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. |PF1|＋|PF2|?则m＝|PF1|·|PF2|≤?＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短 2??轴的顶点处时，m取得最大值25. ∴点P的坐标为(－3，0)或(3，0). 2 x2y2 答案 (－3，0)或(3，0) x2y2 8.(2017·乌鲁木齐调研)已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，Pab→→2 为椭圆上一点，且PF1·PF2＝c，则此椭圆离心率的取值范围是________. →→2222 解析 设P(x，y)，则PF1·PF2＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x－c＋y＝c，① b22 将y＝b－2x代入①式解得 a2 2 x＝ 2 （2c－b）a222 c2 2 2 ＝ （3c－a）a222 c2 2 2 2 ， 又x∈[0，a]，∴2c≤a≤3c， ∴e＝∈?答案 c?32? ，?. a?32? 2??3 ?3，2? ?? 三、解答题 x2y2 9.设F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直， ab直线MF1与C的另一个交点为N. 3 (1)若直线MN的斜率为，求C的离心率； 4 (2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. b2 解 (1)根据c＝a－b及题设知M?c，?，2b＝3ac. ?a? 2 2 2 c1c12222 将b＝a－c代入2b＝3ac，解得＝或＝－2(舍去).故C的离心率为. a2a2 (2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段 b2 MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.① a由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则 ???2（－c－x1）＝c，?x1＝－2c. ?即? ?－2y1＝2，?? ?y1＝－1. 9c1 代入C的方程，得2＋2＝1.② 4ab9（a－4a）1 将①及c＝a－b代入②得＋＝1. 2 4a4a2 2 2 2 3 解得a＝7，b＝4a＝28，故a＝7，b＝2 7. 2 x2y2 10.(2017·兴义月考)已知点M(6，2)在椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率 ab为6. 3 (1)求椭圆C的方程； (2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)，求△PAB的面积. ?ab解 (1)由已知得c?a＝36， ?a＝b＋c， 22 2 2 6 2 ＋2＝1， ??a＝12，解得?2 ?b＝4.? 2 故椭圆C的方程为 x2 12 ＋＝1. 4 y2 (2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0). y＝x＋m，??22 22 由?xy消去y，整理得4x＋6mx＋3m－12＝0， ＋＝1，??124 则x0＝ x1＋x2 231 ＝－m，y0＝x0＋m＝m， 44 31 即D?－m，m?. ?44? 因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB， 4 ＝－1，解得m＝2. 3m－3＋ 42－ m即PD的斜率k＝ 此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0， 则|AB|＝2|x1－x2|＝2·（x1＋x2）－4x1x2＝32， 又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝19 所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝. 22 能力提升题组 (建议用时：25分钟) 32， 2 x2y2 11.(2016·海沧实验中学模拟)已知直线l：y＝kx＋2过椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的上顶点B和 ab左焦点F，且被圆x＋y＝4截得的弦长为L，若L≥( ) A.?0， 22 45 ，则椭圆离心率e的取值范围是5 ??5?? 5? ?25? B.?0，?5???45? D.?0，?5?? 45 ， 5 ?35? C.?0，?5?? 解析 依题意，知b＝2，kc＝2. 设圆心到直线l的距离为d，则L＝24－d≥解得d≤ 2 2 16214 .又因为d＝，所以≤， 2251＋k51＋k12 解得k≥. 4 c2c214252 于是e＝2＝2.故选B. 2＝2，所以0＜e≤，解得0＜e≤ ab＋c1＋k55 2 答案 B 12.椭圆＋y＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点4 x2 2 P的横坐标的取值范围是________. 解析 设椭圆上一点P的坐标为(x，y)， →→ 则F1P＝(x＋3，y)，F2P＝(x－3，y). →→ ∵∠F1PF2为钝角，∴F1P·F2P<0， 即x－3＋y<0，① ∵y＝1－，代入①得x－3＋1－<0， 443228 即x<2，∴x<. 43解得－ 2626?2626?. 22 2 x2 2 x2 答案 ?－ ?2626? ，?3??3 x2y2 13.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆2＋2 ab＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝ 290°，则该椭圆的离心率是________. b