解析 由已知条件易得B?－3b??
?c－2a，－2?， ??
?
?3b??3b?3b?→→?
a，?，C?a，?，F(c，0)，∴BF＝?c＋a，－?，CF＝22?2?22??2?
→→
由∠BFC＝90°，可得BF·CF＝0， 2
3??3??b??所以?c－a??c＋a?＋－＝0， 2??2??2??
c2－a2＋b2＝0，
即4c－3a＋(a－c)＝0， ∴3c＝2a.
2
2
2
2
2
2
3414
c22c6所以2＝，则e＝＝.
a3a3
答案
6
3
x2y2
14.(2017·沈阳质监)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，
ab直线y＝kx与椭圆交于A，B两点.
(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程； (2)若k＝
2
，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值； 4
(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线
PB的斜率k2的取值范围.
解 (1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5. 结合a＝b＋c， 解得a＝25，b＝16. 所以椭圆的标准方程为
＋＝1. 2516
2
2
2
2
2
x2y2
??
(2)法一 由?
2y＝x，??4
x2y2
＋＝1，a2b2
122222
得?b＋a?x－ab＝0. ?8?
设A(x1，y1)，B(x2，y2)， －ab所以x1＋x2＝0，x1x2＝，
122
b＋a8
由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2， →→
因为F2A＝(x1－3，y1)，F2B＝(x2－3，y2)，
2
2
1→→
所以F2A·F2B＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝?1＋?x1x2＋9＝0.即x1x2＝－8，
?8?－ab所以有＝－8，
122
b＋a8结合b＋9＝a， 解得a＝12，∴e＝
22
22
2
3. 2
2
2
法二 设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，所以AB，F1F2是圆的直径，所以x1＋y1＝9，
?y＝2x，
又由椭圆及直线方程综合可得
?xy4 ?a＋b＝1.
1
1
212
212
2
x21＋y1＝9，
由前两个方程解得x1＝8，y1＝1，
将其代入第三个方程并结合b＝a－c＝a－9， 解得a＝12，故e＝
2
2
2
2
2
22
3
. 2
(3)由(2)的结论知，椭圆方程为
x2
12
＋＝1， 3
y2
22
y0－y1y0＋y1y0－y1
由题可设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，所以k1k2＝22，
x0－x1x0＋x1x0－x1
2
y20－y1又2＝x0－x21
x0x1
3?1－?－3?1－??12??12?
x－x20
21
22
1＝－.
4
即k2＝－
1， 4k1
11
由－2＜k1＜－1可知，＜k2＜.
8411
故直线PB的斜率k2的取值范围是?，?.
?84?