2015-2016学年陕西省咸阳市西北农林科大附中高二（上）第二次月
考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是（ ） A．p且q B．p或q C．非p D．以上都不对 2．与命题“若m∈M，则n?M”等价的命题（ ）
A．若m?M，则n?M B．若n?M，则m∈M C．若m?M，则n∈M D．若n∈M，则m?M 3．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（ ）
22
A．存在x0∈R，使得x0＜0 B．对任意x∈R，使得x＜0 C．存在x0∈R，都有
D．不存在x∈R，使得x2＜0
4．在空间中，已知动点P（x，y，z）满足z=0，则动点P的轨迹是（ ） A．平面 B．直线
C．不是平面，也不是直线 D．以上都不对
5．已知i，j，k是空间直角坐标系O﹣xyz的单位正交基底，并且=﹣i+j﹣k，则B点的坐标为（ ） A．（﹣1，1，﹣1） B．（﹣i，j，﹣k） C．（1，﹣1，﹣1） D．不确定 6．若平面α、β的法向量分别为
=（2，﹣3，5），
=（﹣3，1，﹣4），则（ ）
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确 7．设函数f（x）=x2+mx（x∈R），则下列命题中的真命题是（ ）
A．任意m∈R，使Y=f（x）都是奇函数 B．存在m∈R，使y=f（x）是奇函数 C．任意m∈R，使y=f（x）都是偶函数 D．存在m∈R，使y=f（x）是偶函数 8．若=（0，1，﹣1），=（1，1，0），且（+λ）⊥，则实数λ的值为（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2 9．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90°
10．已知E，F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是（ ）
A．
B． C． D．
1
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的 条件．
12．若命题“?x∈R，x2+ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是 ． 13．在下列四个命题中，真命题的个数是
2
①?x∈R，x+x+3＞0；
②?x∈Q， x2+x+1是有理数；
③?α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ； ④?x0，y0∈Z，使3x0﹣2y0=10． 14．若空间三点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（p，3，q+2）共线，则p= ，q= ．
15．在空间平移△ABC到△A1B1C1（使△A1B1C1与△ABC不共面），连接对应顶点，设 =， =，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底{，， }表示向量结果是 ．
三、解答题（本大题共4小题，共45分，16、17、18题各10分，19题15分） 16．写出命题并判断它们的真假．
17．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足
； +=，的
，则x=2且y=一1”的逆命题、否命题、逆否命题，
（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．用向量证明：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直．
19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点． （Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．
2
2015-2016学年陕西省咸阳市西北农林科大附中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是（ ） A．p且q B．p或q C．非p D．以上都不对 【考点】复合命题的真假．
【分析】先判断出命题p与q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出． 【解答】解：命题p：0是偶数，是真命题； 命题q：2是3的约数，是假命题． 则下列命题中为真的是p或q， 故选：B．
2．与命题“若m∈M，则n?M”等价的命题（ ）
A．若m?M，则n?M B．若n?M，则m∈M C．若m?M，则n∈M D．若n∈M，则m?M 【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】根据原命题与它的逆否命题是等价命题，写出它的逆否命题即可． 【解答】解：命题“若m∈M，则n?M”的逆否命题是“若n∈M，则m?M”， 所以与命题“若m∈M，则n?M”等价的命题是“若n∈M，则m?M”． 故选：D．
3．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（ ） A．存在x0∈R，使得x02＜0 B．对任意x∈R，使得x2＜0 C．存在x0∈R，都有
D．不存在x∈R，使得x＜0
2
【考点】命题的否定；全称命题．
【分析】根据全称命题“?x∈M，p（x）”的否定为特称命题：“?x0∈M，￢p（x）”即可得出．
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得： 命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“?x0∈R，使得
”．
故选A．
4．在空间中，已知动点P（x，y，z）满足z=0，则动点P的轨迹是（ ） A．平面 B．直线
C．不是平面，也不是直线 D．以上都不对 【考点】轨迹方程．
【分析】由题意画出图形得答案． 【解答】解：如图，
在空间中，已知动点P（x，y，z）满足z=0，则动点P的轨迹是坐标平面xOy面． 故选：A．
3
5．已知i，j，k是空间直角坐标系O﹣xyz的单位正交基底，并且=﹣i+j﹣k，则B点的坐标为（ ） A．（﹣1，1，﹣1） B．（﹣i，j，﹣k） C．（1，﹣1，﹣1） D．不确定 【考点】空间中的点的坐标．
【分析】利用空间向量知识直接求解．
【解答】解：∵i，j，k是空间直角坐标系O﹣xyz的单位正交基底，并且=﹣i+j﹣k， A点坐标不确定，
∴B点的坐标也不确定． 故选：D．
6．若平面α、β的法向量分别为
=（2，﹣3，5），
=（﹣3，1，﹣4），则（ ）
A．α∥β B．α⊥β
C．α、β相交但不垂直 D．以上均不正确 【考点】平面的法向量． 【分析】由可得出． 【解答】解：∵又∵
与
=﹣6﹣3﹣20≠0，∴
与
不垂直，∴两个平面不垂直；
≠0，可得两个平面不垂直；又
与
不共线，可得α与β不平行．即
不共线，∴α与β不平行．
∴α、β相交但不垂直．
故选；C．
2
7．设函数f（x）=x+mx（x∈R），则下列命题中的真命题是（ ）
A．任意m∈R，使Y=f（x）都是奇函数 B．存在m∈R，使y=f（x）是奇函数 C．任意m∈R，使y=f（x）都是偶函数 D．存在m∈R，使y=f（x）是偶函数 【考点】二次函数的性质．
【分析】从函数的奇偶性的定义进行判断，对于f（x）=x2+mx，不论m为何值时，定义域总是R，故而只需求出f（﹣x）和﹣f（x），即f（﹣x）=（﹣x）2+m（﹣x）=x2﹣mx，﹣f（x），若函数为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即x2﹣mx=﹣x2﹣mx恒成立，而x2﹣mx=﹣x2﹣mx恒成立是不可能，故不论m为何值均不能使f（x）为奇函数；若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），即x2+mx=x2﹣mx恒成立，故只需要m为0时即可
4
【解答】解：由题意知函数的定义域均为R 若函数为奇函数
则f（﹣x）=﹣f（x），
22
即x﹣mx=﹣x﹣mx恒成立，
2222
而x﹣mx=﹣x﹣mx只有在x=0时才成立，而题中给出的x是一切实数，故x﹣mx=﹣x﹣mx恒成立是不可能，
故不论m为何值均不能使f（x）为奇函数； 若函数为偶函数， 则f（﹣x）=f（x），
22
即x+mx=x﹣mx恒成立， 故只需要m为0时即可 故选D
8．若=（0，1，﹣1），=（1，1，0），且（+λ）⊥，则实数λ的值为（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2 【考点】空间向量的数量积运算．
【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出． 【解答】解：∵（ +λ）⊥， ∴（+λ
）?=
+
=
+λ×（0+1+0）=0，
解得λ=﹣2． 故选：D．
9．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式． 【分析】由题意可得：
与的夹角为（ ）
，进而得到与|
|，||，再由cos＜，＞=可得答案．
【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1）， 所以所以所以cos＜
═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且|，
＞=
=
， |=3，
，|
|=
，
∴的夹角为60°
故选C．
10．已知E，F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是（ ）
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