A． B． C． D．
【考点】与二面角有关的立体几何综合题．
【分析】因为D1D⊥面ABCD，故可由三垂线定理法作出二面角的平面角，再求解．
【解答】解：因为D1D⊥面ABCD，过D做DH⊥AE与H，连接D1H，则∠D1HD即为截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的平面角，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在△D1HD中，D1D=1，因为△DAH～△ABE，所以DH=
所以D1H=，所以sin∠D1HD=
故选C
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的 充要 条件． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由正弦定理知 asinA=bsinB，由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．
【解答】解：由正弦定理知
，
若sinA＞sinB成立，则a＞b， 所以A＞B．
反之，若A＞B成立， 则有a＞b，
∵a=2RsinA，b=2RsinB， ∴sinA＞sinB，
所以，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件 故答案为：充要．
12．若命题“?x∈R，x2+ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） ． 【考点】特称命题．
【分析】根据所给的特称命题的否定任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．
【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2+ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2+ax+1≥0，
6
命题否定是假命题， ∴△=a2﹣4＞0 ∴a＜﹣2或a＞2 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
13．在下列四个命题中，真命题的个数是 ①②③④ ①?x∈R，x2+x+3＞0；
②?x∈Q， x+x+1是有理数；
③?α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ； ④?x0，y0∈Z，使3x0﹣2y0=10． 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①?x∈R，x+x+3=
2
2
2
＞0，可知正确；
②?x∈Q， x+x+1是有理数，可知正确；
③取α=2kπ（k∈Z），则sin（α+β）=sinα+sinβ成立； ④取x0=10，y0=10，则使3x0﹣2y0=10成立． 【解答】解：①?x∈R，x2+x+3=
②?x∈Q， x2+x+1是有理数，正确；
③取α=2kπ（k∈Z），则sin（α+β）=sinα+sinβ成立，正确；
④取x0=10，y0=10，则使3x0﹣2y0=10成立，因此?x0，y0∈Z，使3x0﹣2y0=10成立，故正确． 综上可得：①②③④都是真命题． 故答案为：①②③④．
14．若空间三点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（p，3，q+2）共线，则p= 3 ，q= 2 ． 【考点】共线向量与共面向量．
【分析】将三点共线，转化为向量共线，再利用向量共线的条件，即可得到结论． 【解答】解：∵A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（p，3，q+2） ∴
∵空间三点共线 ∴
∴p=3，q=2 故答案为：3，2
15．在空间平移△ABC到△A1B1C1（使△A1B1C1与△ABC不共面），连接对应顶点，设 =，结果是
=，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底{，， }表示向量
．
+=，的
，
＞0，正确；
7
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】可画出图形，并连接AB1，AC1，这样根据向量加法的平行四边形法则即可用
表示出
，然后进行向量数乘运算即可用基底
表示出
向量．
【解答】解：如图，连接AB1，AC1，M，N分别为BC1，B1C1的中点；
∴===
．
．
=
故答案为：
三、解答题（本大题共4小题，共45分，16、17、18题各10分，19题15分） 16．写出命题
，则x=2且y=一1”的逆命题、否命题、逆否命题，
并判断它们的真假．
【考点】四种命题的真假关系．
【分析】将原命题中的条件、结论互换得到逆命题；将原命题的条件、结论同时否定得到否命题、将原命题的条件、结论否定再交换得到逆否命题． 【解答】解：逆命题：若x=2且y=﹣1，则否命题：若
逆否命题：若x≠2或y≠﹣l，则
17．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足
；真命题
，则x≠2或y≠﹣1；真命题
；真命题
；
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（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】（1）p∧q为真，则p真且q真．分别求出p，q为真命题时x的范围，两者取交集即可．
（2）q是p的充分不必要条件，即q?p，反之不成立．，设A={x|2＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}，则A?B，转化为集合关系． 【解答】解：由x2﹣4ax+3a2＜0，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0， 所以a＜x＜3a?． 由满足
；
得2＜x≤3，即q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3，?..?．
（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3?
（Ⅱ）q是p的充分不必要条件，即q?p，反之不成立．， 设A={x|2＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}，则A?B，
则0＜a≤2，且3a＞3所以实数a的取值范围是1＜a≤2?
18．用向量证明：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直．
【考点】直线与平面垂直的性质．
【分析】画出图形，根据条件，只需把直线表示出向量，利用向量的数量积为0，证明垂直． 【解答】证明：如图，PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影， 设直线a上非零向量，要证a⊥OA?a⊥PA， 即证?=0??=0． ∵a?α， ?=0，
∵?=?（+）=?+?=0+0=0． ∴a⊥PA．
19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点． （Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD
（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．
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【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角． 【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论；
（Ⅱ）通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论； （Ⅲ）通过设
=λ
，利用平面ABCD的一个法向量与
的夹角的余弦值为，计算
即可． 【解答】（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0）， A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2）， 又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）． 由题可知： =（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，∵?
=0，MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；
=（1，﹣2，2），
=（2，0，0），
=（0，1，2），
=（0，﹣，0），
（Ⅱ）解：由（I）可知：
设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量， 由
，得
，
取z=1，得=（0，1，1），
设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量， 由
，得
，
取z=1，得=（0，﹣2，1）， ∵cos＜，＞=
=﹣
，∴sin＜，＞=
=
，
∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为（Ⅲ）解：由题意可设
；
，其中λ∈[0，1]，
10
=λ
∴E=（0，λ，2），=（﹣1，λ+2，1），
又∵=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量， ∴cos＜
，＞=
=
=，
整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=
﹣2或﹣2﹣
（舍），
∴线段A1E的长为﹣2．
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