例8.1 我们用程度元组将命题“这个苹果比较甜”表示为? (这个苹果, 味道, (甜, 0.95))?
其中的0.95就代替“比较”而刻画了苹果“甜”的程度。 例8.2 采用程度谓词, 则?
(1) 命题“雪是白的”可表示为? white1.0(雪) 或 1.0white(雪)?
(2) 命题“张三和李四是好朋友”可表示为?
friends1.15(张三, 李四) 或 1.15 friends(张三, 李四) ?例8.3 下面是一个描述大枣的程度框架。 ? 框架名: <大枣>?
类属: (<干果>, 0.8)? 形状: (圆, 0.7)? 颜色: (红, 1.0)? 味道: (甘, 1.1)?
用途: 范围: (食用, 药用)? 缺省: 食用
例8.4 图8-1所示是一个描述狗的程度语义网。
例8.5 设有规则: 如果某人鼻塞、 头疼并且发高烧,则该人患了重感冒。 我们用程度规则描述如下: ?
(某人, 症状, (鼻塞,x))∧(某人,症状,(头疼, y))∧(患者, 症状, (发烧,z))→? (该人, 患病, (感冒, 1.2(0.3x+0.2y+0.5z)))?
程度规则的关键是程度函数。 一个基本的方法就是采用机器学习(如神经网络学习)。 这需要事先给出一些含有具体程度值的实例规则, 学习作为样本。
例8.6 设有如下一组产生式规则和证据事实，试用确定性理论求出由每一个规则推出的结论及其可信度。
规则:
①if At hen B(0.9)
②if B and C then D(0.8) ③if A and C then D(0.7) ④if B or D then E(0.6) 事实:
A，CF(A)=0.8;C，CF(C)=0.9 解
规则①得:CF(B)＝0.9×0.8＝0.72
由规则②得:CF(D)1＝0.8×min{0.72，0.9)＝0.8×0.72＝0.576 由规则③得:CF(D)2＝0.7×min{0.8，0.9)＝0.7×0.8＝0.56 从而 CF(D)＝CF(D)1＋CF(D)2－CF(D)1×CF(D)2 ＝0.576＋0.56－0.576×0.56＝0.81344 由规则④得:
CF(E)＝0.6×max{0.72，0.81344}＝0.6×0.81344＝0.488064 例8.7 设有规则if E1 then (100, 0.01) H1 (P(H1)=0.6)，并已知证据E1肯定存在，求H1的后验概率P(H1| E1)。
解 由于证据E1肯定存在，因此可用公式（4）计算P(H1| E1)。于是有
LS?P(H1)100?0.6
P(H1|E1)???0.99 1?P(H1)(LS?1)1?0.6?(100?1)
例8.8 设有规则if E1 then (100, 0.01) H1 (P(H1)=0.6)，并已知证据E1肯定不存在，求H1的后验概率P(H1|﹃E1)。
解 由于证据E1肯定不存在，因此可用公式（5）计算P(H1|E1)。于是有
LN?P(H1)0.01?0.6
P(H1|?E1)???0.006 1?P(H1)(LN?1)1?0.6?(0.01?1)
例3 设有规则if E1 then (100, 0.01) H1 (P(H1)=0.6)，并已知证据E1不确定，但P(E1| S1)=0.7，S1为影响E1的观察或条件，而E1的先验概率P(E1)=0.5，求H1的后验概率P(H1| E1)。
解 由于证据E1不确定，因此要用插值公式（6）计算P(H1|E1)。又由于
P(E1| S1)=0.7> P(E1)=0.5 所以应采用公式
P(H|E)?P(H)
P(H|S)?P(H)?[P(E|S)?P(E)] 1?P(E) 即
P(H1|E1)?P(H1)P(H|S)?P(H)?[P(E1|S1)?P(E1)] 1111?P(E1)
其中P(H1 )、P(E1)已知，还需要计算E1肯定存在的情况下的P(H1| E1)，我们直接采用前面例1的结果，于是有
0.99?0.6P(H|E)?P(H|S)?0.6??[0.99?0.5]?0.9822 11111?0.5
例8.10 设有规则
R1: if E1 then (200, 0.02) H R2: if E2 then (300, 1) H 已知证据E1和E2必然发生，并且P(H)=0.04，求H的后验概率P(H| E1 E2)。 解 由P(H)=0.04，有 O(H)=0.04/(1-0.04) 0.04 由R1有
O(H|E1)=LS1O(H)=2000.04=8 由R2有
O(H|E2)=LS2O(H)=3000.04=12 于是
O(H|E1)O(H|E2)O(H|E1E2)???O(H)
O(H)O(H)
812???0.04?24000.040.04 从而
P(H|E1E2)?2400?0.9995835 1?2400例8.11 设Ω＝{a，b，c}，其基本概率分配函数为 m({a})＝0.4 m({a，b})＝0 m({a，c})＝0.4 m({a，b，c})＝0.2 m({b})＝0 m({b，c})＝0 m({c})＝0
可以看出，基本概率分配函数之值并非概率。如
m({a})＋m({b})＋m({c})＝0.4≠1 例8.12 由例8.11可知
Bel({a，b})＝m({a})＋m({b})＋m({a，b})＝0.4＋0＋0＝0.4 例8.13 由例8.11、例8.12可知
Pl({a，b})＝1-Bel({a，b}′)＝1-({c})＝1-0＝1
例8.14 设识别框架Ω＝{a，b，c}，若基于两组不同证据而导出的基本概率分配函数分别为：
m1({a})＝0.4 m1({a，c})＝0.4 m1({a，b，c})＝0.2 m2({a})＝0.6
m2({a，b，c})＝0.4 将m1和m2合并
m({a})?B?C?{a}?m1(B)m2(C)
＝m1({a})m2({a})＋m1({a})m2({a，b，c})＋m1({a，c})m2({a}) ＋m1({a，b，c})m2({a})＝0.76
m({a，c})＝m1({a，c})m2({a，b，c})＝0.16
m({a，b，c})＝m1({a，b，c})m2({a，b，c})＝0.08 例8.15 设有规则:
(1)如果 流鼻涕 则 感冒但非过敏性鼻炎(0.9)或过敏性鼻炎但非感冒(0.1)
(2)如果 眼发炎 则 感冒但非过敏性鼻炎(0.8)或过敏性鼻炎但非感冒(0.05)括号中的数字表示规则前提对结论的支持程度。又有事实:
小王流鼻涕(0.9) 小王眼发炎(0.4)
括号中的数字表示事实的可信程度。
我们用证据理论求解这一医疗诊断问题。 ? 首先, 取识别框架? Ω＝{h1，h2，h3}
其中，h1表示“感冒但非过敏性鼻炎”，h2表示“过敏性鼻炎但非感冒”，h3表示“同时得了两种病”。
再取下面的基本概率分配函数:
m1({h1})＝规则前提事实可信度×规则结论可信度 ＝0.9×0.9＝0.81
m1({h2})＝0.9×0.1＝0.09
m1({h1，h2，h3})＝1- m1({h1})- m1({h2})＝1-0.81-0.09＝0.1 m1(A)＝0 (A为Ω的其他子集)
m2({h1})＝0.4×0.8＝0.32m2({h2})＝0.4×0.05＝0.02m2({h1，h２，h3})＝1-m2({h1})-m2({h2})＝1-0.32-0.02＝0.66
m2(A)＝0 (A为Ω的其他子集) 将两个概率分配函数合并
K＝1/{1-［m1({h1})m2({h2})＋m1({h2})m2({h1})］} ＝1/{1-［0.81×0.02+0.09×0.32］} ＝1/{1-0.045} ＝1/0.955 ＝1.05
m({h1})＝K·［m1({h1})m2({h1})＋m1({h1})m2({h1，h2，h3} ＋m1({h1，h2，h3})m2({h1})］
＝1.05×0.8258＝0.87 m({h2})＝K·［m1({h2})m2({h2})＋m1({h2})m2({h1，h2，h3} ＋m1({h1，h2，h3})m2({h2})］ ＝1.05×0.0632＝0.066
m({h1，h2，h3})＝1-m({h1})-m({h2}) ＝1-0.87-0.066＝0.064 由信任函数求信任度
Bel({h1})＝m({h1})＝0.87
Bel({h2})＝m({h2})＝0.066 由似真函数求似真度
Pl({h1})＝1-Bel({h1}′)＝1-Bel({h2，h3}) ＝1-［m({h2}＋m({h3}) ＝1-［0.066＋0］＝0.934
Pl({h2})＝1-Bel({h2}′)＝1-Bel({h1，h3}) ＝1-［m({h1})＋m({h3})］ ＝1-［0.87＋0］＝0.13 于是，最后得到：
“感冒但非过敏性鼻炎”为真的信任度为0.87，非假的信任度为0.934；
“过敏性鼻炎但非感冒”为真的信任度为0.066，非假的信任度为0.13。
所以，看来该患者是感冒了。
证据理论是被推崇的处理随机性不确定性的好方法，受到人工智能特别是专家系统领域的广泛重视，并且已为许多专家系统所采用。
例8.16 设Ｕ＝｛0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10｝, 则?
S1＝0/0＋0/1＋0/2＋0.1/3＋0.2/4＋0.3/5＋0.5/6＋0.7/7 ＋0.9/8＋1/9＋1/10?
S2＝1/0＋1/1＋1/2＋0.8/3＋0.7/4＋0.5/5＋0.4/6＋0.2/7 ＋0/8＋0/9＋0/10 就是论域U的两个模糊子集, 它们可分别表示U中“大数的集合”和“小数的集合”。
可以看出, 上面“大数的集合”和“小数的集合”实际上是用外延法描述了“大”和“小”两个软概念。这就是说, 模糊集可作为软概念的数学模型。
例8.17 通常所说的“高个”、“矮个”、“中等个”就是三个关于身高的语言值。我们用模糊集合为它们建模。 ?
取人类的身高范围［1.0, 3.0］为论域U, 在U上定义隶属函数μ矮(x)、μ中等(x)、μ高(x)如下(函数图像如图8-5所示)。 这三个隶属函数就确定了U上的三个模糊集合,它们也就是相应三个语言值的数学模型。
?1?1.65?x??矮(x)??0.15?0??1.0?x?1.501.50?x?1.651.65?x?3.0