河北科技师范学院学士学位论文
所以由定义1 知p??f?x?。
定理3.2.1 设f为?a,b?上的连续凸函数，则对于任意的x0??a,b?及任意的p??f?x0?，总存在两个异于x0的点x1 ，x2??a,b?, 使得
证明 我们分两种情况来证明结论： 1) p?0 的情形。
此时，据引理1 可知f?x0? 为f在?a,b?上的极小值 ( i) 如果f?a??f?b?，可取x1?a，x2?b，使得：
f?x2??f?x1??p
x2?x1f?x2??f?x1??0?p
x2?x1( ii) 如果f?a??f?b?。 不失一般性 ，可设f?a??f?b?。
当f?a??f?x0? 时 ，由f?x0?为f在?a,b?上的极小值及f的凸性可知
f?x0??f??a??1???x0???f?a???1???f?x0??f?x0?，????0,1?
这表明f在?a,x0?上取常值, 此时令x1?
2a?x0a?2x0，x2?就有 33f?x2??f?x1??0?p
x2?x1 当f?a??f?x0?时 ，注意到f?x0??f?a??f?b?且f在?x0,b?上连续, 由连续函数 的介值性定理可知 ，存在x2??x0,b? ，使得f?x2??f?a?。此时取x1?a便有
f?x2??f?x1??0?p
x2?x1 2) p?0的情形。
构造函数F:?a,b??R, 这里F?x??f?x??f?a??p?x?a?。 则F 满足： ( i) F为?a,b?上的连续凸函数； ( ii) p??F?x0?。
第一点很容易验证. 以下来说明第二点.
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事实上, 由于p??F?x0?，据次梯度的定义可知
f?x??f?x0??p?x?x0?，?x??a,b?
于是有
f?x??f?a??p?x?a??f?x0??f?a??p?x0?a??p?x?x0?,?x??a,b?
这表明p??F?x0?。由情形1 可知, 此时存在两个异于x0的点x1 ，x2??a,b? 使得
F?x2??F?x1??0
x2?x1即
F?x2??F?x1??P 证毕.
x2?x1当f在x 可微时有f在?f?x??f?x?。于是得到:
推论2 设f在?a,b?上为连续凸函数， 在?a,b?内可导，则对于任意的x0??a,b?， 总存在两个异于x1 ，x2??a,b?，使得 F?x2??F?x1??f'?x0?x2?x1当f严格凸时 ，必有f?x0??f?a?，或f?x0??f?b?，于是由定理3.2.1可得：
推论3 设f为?a,b?上的连续严格凸函数 ，则对于任意的x0??a,b?及任意的p??f?x0?， 总存x1,x2??a,b?，x1?x0?x2, 使得 f?x2??f?x1??px2?x1结合推论1又可得
推论4 设f在?a,b?上为连续严格凸函数，在?a,b?内可导，则对于任意的x0??a,b?， 总存在x1,x2??a,b?，x1?x0?x2，使得
??f?x2??f?x1??p.
x2?x13.3凸函数的积分性质
''引理1 设f是?a,b?上的连续凸函数，则f??x?与f??x?在?a,b?内存在，且对
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?x1,x2??a,b?，x1?x2，下式成立
f?'?x1??f?'?x1??f?'?x2??f?'?x2?
引理2 设f是?a,b?上的凸函数，对?x1,x2??a,b?,x1?x2，则存在???x1,x2?，使下列成立
f?'????f?x1??f?x2??f?'???
x1?x2引理3 设f是?a,b?上的凸函数，则f在?a,b?上除至多只有可数个点外，处处可导。 定理3.3.1设f是[a,b]上的连续凸函数， f([a,b])?[c,d].若g在[c,d]上连续且不变号，其一个原函数是F，则
b F(f(b))?F(f(a))??g(f(x))f??(x)dx??g(f(x))f?'(x)dx （1）
aab证明 情形1 f??a?与f??b?均存在。定义f?'?a?=f?'?a?与f?'?b?=f?'?b?，由引理1可知：
f?'与f?'在?a,b?上单调递增。从而可知（1）中两个积分有意义，
不妨设g在?c,d?上非负，令
xi?a??b?a?i (i?n0,1,?2,n。,
由微分中值定理及引理2可知：存在?i，?i??xi?1,xi?，使 Ff?xi??Ff?xi?1??g????????fx?， ?f?????f?xii?i1f?'??i'?nb?ab?a?f?xi??f?xi?1??f?'??i'?，?i?1,2,?,n?。由g非负及上两式可得 nn
?g?f??i??f?'??i'?i?1nb?a n????F?f?xi???F?f?xi?1????
i?1=Ff?b??Ff?a?????'??g?f??i??f?'??i?i?1nb?a （2） n对式两端让n???，则有
fagf?x?f??x?dx?Ff?b??Ff?a?
b?????? 6
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?fabgf?x?f??x?dx （3） 由引理3知：f?'?f?'在?a,b?上几乎处处成立，则（3）式两端相等，即（1）式成立。
情形2 条件1 f?'?a???，f?'?b?存在；条件2 ，f?'?a?存在，f?'?b???；条件3，f?'?a???，
??f?'?b???。由已知条件知：F?f?x??在?a,b?上连续。
当条件1成立时，则
?bag?f?x??f?'?x?dx?lim????0ba??g?f?x??f?'?x?dx
?Ff?b??Ff?a???? =lim? ??0?? =Ff?b??Ff?a?
即（1）式成立。
当条件2或条件3成立时，同理可证（1）成立，证毕。
推论5 设f是?a,b?上的连续凸函数，f??????????a,b????c,d?若在?c,d?上连续且至多只有有限
个零点，其一个原函数是F，则（1）式仍成立。
定理3.3.2 设f是[a,b]上的连续凸函数，g在[a,b]上有连续的导函数且至多只有有限个零点，则
b?b??g(f(x))f?(x)dx??g(f(x))f?(x)dx?g(x)f(x)??f(x)g?(x)dx. （4）
aaaabb证明 先假设g在?a,b?上不变号，不妨设g在?a,b?上非负（同理可证非正的情形），且
f?'?a?与f?'?b?均存在，令
xi?a??b?a?ni ?i?0,1,?2,n?,。
由微分中值定理及引理2可得：存在?i，?i'??xi?1,xi?，使下式成立
b?an'' ?g?xi?f??i?+?g??i?f??xi?1??xi?xi?1?
ni?1i?1'?n ?x?g??x?f?????fx?????g?????g?x??f?x? xii?i1i?1i?1ii?1nn =
???g?x?f?x??g?x?f?x???
iii?1i?1i?1 7
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b?an'=g?x?f?x????g?xi?f??i???g??i?f?xi?1??xi?xi?1?
ani?1i?1b'?n 对上式两端让n???，则有
?bag?x?fb'??x?dx??af?x?g'?x?dx?g?x?f?x?a
'?b'?bbb??ag?x?f?x?dx??ag?x?f?x?dx??af?x?g'?x?dx
由引理3知：f?'=f?'在?a,b?上几乎处处成立，则上式两端相等，即4式成立。
当f?'?a?=?与f?'?b?存在，f?'?a?存在与f?'?b?=?，f?'?a?=?与f?'?b?=?三者之一成立时，则仿照定理1中情形2的证法亦可证得（4）式成立。
当g在?a,b?上有有限个零点时，则仿照定理3.3.1的推论的证法亦可证得（4）式成立。证毕。
3.2 Jesen不等式及凸函数性质的应用
例1 用Jensen不等式证明:霍尔德(H lder)不等式
设ai,bi?0,i?1,2,?n,有
?aibi?[?aip][?b]，其中p?0,q?0,i?1i?1i?1nn1pn1qqi11??1 pq证明:(1)令f(x)?xp,p?1,x?0,因为f??(x)?p(p?1)xp?1?0，由判定定理知f(x)?xp，
p?1,x?0，在(0,??)上是严格凸函数，由Jensen不等式，得到(??ixi)???ixip，今设
pi?1i?1nnu1,u2?un为非负实数且?ui?0，在上述表达式中以
i?1nui?i?1nui代替?i，得到
(?uixi)?(?ux)(?ui)p?1
ppiii?1i?1i?1nnnn11q1?qp由题设??1知q?q?1，令ui?bi,xi?aibi，不妨设?bi?0，代入上式便得Holder
pqi?1不等式
?abi?1nii?[?a][?b].
pii?1i?1n1pn1qqi特别地，取p?q?2时就得到Cauchy不等式：
?ab??a?bii2ii?1i?1i?1nnn2i.
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