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例2 Minkowski 不等式：设ai?0，bi?0，?i?1,2,?,n?k?1，证明：
??ai?bi?????i?1nk????????aik????bik? ???i?1??i?1??nn1k1k1k证 因为
??ai?bi?i?1knnk??ai?ai?bi?i?1nk?1??bi?ai?bi?i?1nk?1
利用 Hoeder不等式得
??ai?bi?i?1n?????aik??i?1?1k??ai?bi?i?1n?k?1???k'???bik??i?1???? ??n1k??ai?bi?i?1nk?1k'
111??n?kk'nnkk????k?k????=??ai????bi?????ai?bi?????i?1??i?1????i?1?????1'11?k?k（其中?'?1），并对此式两边除以???ai?bi??
kk?i?1?n即得???a?b???iii?1nk???k?k??a?b??i?i? ?????i?1??i?1?1kn1kn1k例3 利用凸函数导出常用的不等式 1 几何平均值不大于算术平均值
设a?0,a?1考虑指数函数y?a，x??0,???是凸函数，从而对?x1,x2,?,xn??0,???，
x??1,?2,?,?n??0,1?,??k?1，有
k?1na?1x1??2x2????nxn??1ax1??2ax2????naxn
令?1??2????n?则得到，
?a1,a2,?,an?0，?a1a2?an??1n1xxx，a1?a1，a2?a2，??，an?an na1?a2???an
n 这就是人们熟知的“几何平均值大于算术平均值”定理。 2 算术平均值不大于平方平均值
考虑二次函数y?x，x??0,???是凸函数，从而有
2?x1,x2,?,xn??0,???
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??1,?2,?,?n??0,1?,??k?1
k?12n??1x1??2x2????nxn???1x12??2x22????nxn2，令?1??2????n?1，即得 nx1?x2???xnx12?x22???xn2 ?nn这就是“算术平均值不大于平方平均值”
3 一般的平均值定理
考虑一般的冥函数y?xp，p?1，x??0,???是凸函数，那么同样可以有
x1?x2???xn?x1?x2???xn????
nn??这就是一般的平均值定理，它可以称为：算术平均不大于p?p?1?次平均。 例4 已知：xi??0,??,i?1,2,?,n，求证：
ppp1psinx1?sinx2???sinxnx?x???xn?sin12
nn证明：设f?x??sinx，因为f''?x???sinx，所以f?x?在?0,??为凸函数，由Jesen不等式的推论知，
sinx1?sinx2???sinxnx?x???xn?sin12
nn例5 求证：
1?1112nn?1（n为正整数） ?????n?123n
3?51(x?0)，因为f'?x???x2，由定理1f?x?在(0,??)为凸函数，证明：设f?x???4x由Jesen不等式的推论知，
?1?111????123n?
n1?2?3???nn所以
1?1112nn?1 ?????n?123n 10
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例6
?(t)???0t?(a,b) 这个函数显然在t?a,t?b不连续，但?(t)在[a,b]上是凸函数。因
?1t?a,b?t1?t2?[a,b]且t1?t2,?q?(0,1)，有：
?[qt1?(1?q)t2]?q?(t1)?(1?q)?(t2) （1）这是由于：?[qt1?(1?q)t2]?0.因qt1?(1?q)t2?(a,b)
?0?q?而q?(t1)?(1?q)?(t2)???1?q??1t1?a,t2t1?a,t2t1?a,t2t1?a,t2?b?b ?b?b综上所述，式（1）是恒成立的。即?(t)在[a,b]上是凸函数。?(t)只在(a,b)内连续，在端点处不连续。
例7 设f是[a,b]上非常值的单调连续凸函数(0?a?b)，则如下不等式成立
?bax(f??(x))2dxbabf(x)?af(a)??f(x)dx (1)
在（1）式中，将“f??”换成“f??”，则（1）式仍成立。 证明： 由推论5可得
f(b)?f(a)??f??(x)dx （2）
ab由定理3.3.1可得
bf(b)?af(a)??f(x)dx??xf??(x)dx （3）
aabb由（2）（3）式及已知可得（1）式等价于
?bax(f??(x))2dx?f??(x)??(f??(x))2dx?xf??(x)dx （4）
aaabbb记I??bax(f??(x))2dx?f??(x)dx??(f??(x))2dx?xf??(x)dx
aaabbb 11
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bb??dx?yf??(y)f??(x)(f??(y)?f??(x))dy （5）
aa交换上式中x与y的位置，则可得
I??dx?xf??(x)f??(y)(f??(x)?f??(y))dy （6）
aabb将（5）与（6）两式相加可得
I?b1bdxf??(x)f??(y)(f??(x)?f??(y))(x?y)dy （7） 2?a?a?(x)f??(y)?0，f??(x)单调递增。再由（7）式由f是[a,b]上非常值的单调连续凸函数可得：f?可得I?0.从而由（5）式可知（4）式成立，即（1）式成立，证毕。 例8 设f是[a,b]上连续凸函数，记m?inf{f(x)|x?(a,b)}. 则有
c?|f?(x)|dx?f(a)?f(b)?2m. (1)
a??(x)”换成“f??(x)”仍成立。 在上式中将“f?证明：由设f是[a,b]上连续凸函数可得：存在c?[a,b]使m?f(c)，且f(x)在[a,c]与[c,b]上分别单调递减与单调递增且均连续，再由推论5可得
?cab|f??(x)|dx???f??(x)dx??(f(c)?f(a))，
ac?c|f??(x)|dx??f??(x)dx?(f(b)?f(c)).
cb将上两式相加并整理可得（1）式。证毕。
结束语：
从上述对凸函数的性质的讨论和在一些证明中的应用可知, 连续凸函数具有一些非常好的性质, 在数学各个领域中都有着广泛的应用。 但由于凸函数理论的广泛性, 因此对凸函数理论的研究成果还需进一步的深入和推广.
参考文献：
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The Property and Applications of Convex Functions
Zhang Lu-ying
Class 0602, Major of mathematics and applied mathematics,
Department of Mathematics and Physics, He bei Normal University of Science & Technology
Tutor: Liu Li-jing
Abstract Convex function is a function of importance in mathematical analysis. In mathematics theory study it involves a lot of mathematical proposition’s discussion and proof. This paper will study several convex function definitions and have the literature materials summarized and systematized. Based on the definition of convex function, it will discuss the new function generated from the four arithmetic operations of the convex functions which are defined in a interval. Also convex functions’ continuity, differentiability and integrability will be systematically discussed in this paper. Then it studies the application of the properties of convex function and Jessen inequality in the proof of inequality, and takes examples to illustrate the ideas and solving methods. Several common important inequations will be proved.
Key words Convex function; Inequality; Prove
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致 谢
在论文进行过程中，刘丽静给予我大力支持，提供了大量重要文献，指导我完成论文初稿并帮助我反复修改，在此表示衷心的感谢。四年以来许多老师为我顺利完成学业倾注了大量心血，在此也谨致谢意!
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