离散数学试题及答案

离散数学试题及答案

离散数学试题(A卷答案）

一、证明题（10分）

1) (P∧Q∧A?C)∧(A?P∨Q∨C)? (A∧(P?Q))?C。

证明: (P∧Q∧A?C)∧(A?P∨Q∨C)

?(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C) ?(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C) ?((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))∨C ??((P∧Q∧A)∨(A∧?P∧?Q))∨C ??( A∧((P∧Q)∨(?P∧?Q)))∨C ??( A∧(P?Q))∨C ?(A∧(P?Q))?C

2) ?(P?Q)? ?P??Q。

证明：?(P?Q)??(?(P∧Q))??(?P∨?Q))??P??Q。 二、分别用真值表法和公式法求(P?(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。

证明：

公式法：因为(P?(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))

?(?P∨Q∨R)∧(?P∨(Q∧R)∨(?Q∧?R)) ?(?P∨Q∨R)∧(((?P∨Q)∧(?P∨R))∨(?Q∧

?R))

?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?Q)∧(?P∨Q∨?R)∧

(?P∨R∨?Q)∧(?P∨R∨?R)

?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R) ?M4∧M5∧M6 ?m0∨m1∨m2∨m3∨m7

所以，公式(P?(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。

真值表法：

P Q Q?R P?(Q∨R R) 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

?P∨(P?(Q∨R))∧(?P∨(Q?R) (Q?R)) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1

由真值表可知，公式(P?(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。 三、推理证明题（10分）

1）?P∨Q，?Q∨R，R?SP?S。

证明：(1)P 附加前提 (2)?P∨Q P

(3)Q T(1)(2)，I (4)?Q∨R P

(5)R T(3)(4)，I (6)R?S P

(7)S T(5)(6)，I (8)P?S CP

2) ?x(P(x)?Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x))

证明（1）?xP(x) (2)P(a)

(3)?x(P(x)?Q(y)∧R(x)) (4)P(a)?Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a)

(9)P(a)∧R(a) (10)?x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x))

四、某班有学生60人，其中有38人学习PASCAL语言，有16人学习C语言，有21人学习COBOL语言；有3个人这三种语言都学习，有2个人这三种语言都不学习，问仅学习两门语言的学生数是多少？(10分)

解 设 、 、 分别表示学习PASCAL语言、C语言、COBOL语言的学生组成的集合，则|A|＝38，|B|＝16，|C|＝21，|A∩B∩C|＝3，|A∩B∩C|＝2。

|A∪B∪C|＝60－|A∩B∩C|＝58 由容斥原理，得

|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|―|A∩B|―|A∩C|―|B∩C|＋|A∩B∩C|

所以

|A∩B|＋|A∩C|＋|B∩C|＝|A|＋|B|＋|C|＋|A∩B∩C|―|A∪B∪C|＝38＋16＋21＋3―58＝20

又因为

|A∩B∩C|＝|A∩B|―|A∩B∩C| 所以

|A∩B∩C|＋|A∩B∩C|＋|A∩B∩C|＝|A∩B|＋|A∩C|＋|B∩C|―3|A∩B∩C|＝20－9＝11

仅学习两门语言的学生数是11人。

五、已知A、B、C是三个集合，证明(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C) （10分）

证明：因为

x∈(A∪B)－C?x∈(A∪B)－C

?x∈(A∪B)∧x?C ?(x∈A∨x∈B)∧x?C

?(x∈A∧x?C)∨(x∈B∧x?C) ?x∈(A－C)∨x∈(B－C) ?x∈(A－C)∪(B－C)

所以，(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C)。

六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={| x,y?N∧y=x2}，S={| x,y?N∧y=x+1}。求R-1、R*S、S*R、R{1,2}、S[{1,2}]（10分）

解：R-1={| x,y?N∧y=x2}，R*S={| x,y?N∧y=x2+1}，S*R={| x,y?N∧y=（x+1）2}，R{1,2}={<1,1>,<2,4>}，S[{1,2}]={1,4}。

七、证明：R是传递的?R*R?R（10分）。

证明 若R是传递的，则∈R*R??z(xRz∧zSy)?xRc∧cSy，由R是传递的得xRy，即有∈R，所以R*R?R。

反之，若R*R?R，则对任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，则∈R*R，于是有∈R，即有xRy，所以R是传递的。