专题训练(七) 三角恒等变换与解三角形
A级——基础巩固组
一、选择题
π24
－，0?，则sinα＋cosα＝( ) 1．已知sin2α＝－，α∈??4?251
A．－
57C．－
5
1B. 57D. 5
π
－，0?，∴cosα>0>sinα且cosα>|sinα|，则sinα＋cosα＝1＋sin2α＝ 解析 ∵α∈??4?241
1－＝. 255答案 B
π?1π
＋α＝，则cos?－2α?等于( ) 2．若sin??4?3?2?4242
A. B．－ 9977C. D．－ 99
π?解析 据已知可得cos??2－2α?＝sin2α ππ7
＋α?＝－?1－2sin2?＋α??＝－. ＝－cos2??4???4??9答案 D
π43π?α＋2π?等于α＋?＋sinα＝－3．(2014·河北衡水一模)已知sin?，－<α<0，则cos3??3??52( )
4
A．－
543C. D. 55
π43π
α＋?＋sinα＝－解析 ∵sin?，－<α<0， ?3?523343∴sinα＋cosα＝－， 225∴
314sinα＋cosα＝－. 225
1
3
B．－ 5
2π2π2π134α＋?＝cosαcos－sinαsin＝－cosα－sinα＝. ∴cos?3??33225答案 C
4．(2014·江西卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2
π
＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
3
93
A．3 B.
233C. D．33 2解析 ∵c2＝(a－b)2＋6， ∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
ππ
∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②
33由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6. 11333∴S△ABC＝absinC＝×6×＝.
2222答案 C
5．(2014·江西七校联考)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．不含60°的等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
解析 sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)＝1－2cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝1－2cosA·sinB，∴sinAcosB＋cosAsinB＝1，即sin(A＋B)＝1，
π
则有A＋B＝，故三角形为直角三角形．
2答案 D
c－b
6．(2014·东北三省二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝c－asinA
，则B＝( )
sinC＋sinB
ππA. B. 64πC. 3
3πD. 4
c－babca
解析 由sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入整理得＝?c2－b2＝ac－a2，
2R2R2Rc－ac＋b1π
所以a2＋c2－b2＝ac，即cosB＝，所以B＝，故答案为C.
23
2
答案 C 二、填空题
π1
θ＋?＝，则sinθ＋cosθ＝________. 7．设θ为第二象限角，若tan??4?2
π1＋tanθ1110
θ＋?＝解析 tan?＝，解得tanθ＝－，又θ为第二象限角，得sinθ＝，cosθ?4?1－tanθ231031010
＝－，所以sinθ＋cosθ＝－.
105
答案 －
10
5
1
8．(2014·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a,2sinB
4＝3sinC，则cosA的值为________．
解析 由正弦定理得到边b，c的关系，代入余弦定理的变式求解即可． 3
由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝c.
2111
又b－c＝a，∴c＝a，即a＝2c.
424
9223
c＋c－4c2－c2
4b＋c－a41
由余弦定理得cosA＝＝＝2＝－.
2bc33c4
2×c2
2
2
2
2
1
答案 －
4
9．(2014·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)
解析 根据图中给出的数据构造适当的三角形求解．
46根据已知的图形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，
sin67°得
ABBC46
＝，所以BC≈2××0.60＝60(m)． sin30°sin37°0.92
3
答案 60 三、解答题
π53x＋?，x∈R，且f?π?＝. 10．(2014·广东卷)已知函数f(x)＝Asin??4??12?2(1)求A的值；
π33
0，?，求f?π－θ?. (2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈??2??4?25π??5π＋π?＝Asin2π＝3， 解 (1)f?＝Asin?12??124?3232
∴A＝·＝3.
23
πx＋?， (2)由(1)得：f(x)＝3sin??4?
ππθ＋?＋3sin?－θ＋? ∴f(θ)＋f(－θ)＝3sin?4??4??ππ
sinθcos＋cosθsin?＋ ＝3?44??3??
－θ
π
＋4
－θ
π?4?
π3
＝23cosθsin＝6cosθ＝ 42∴cosθ＝
π610
0，?，∴sinθ＝，又∵θ∈?. ?2?44
3π?3ππ1030
－θ＝3sin?－θ＋?＝3sin(π－θ)＝3sinθ＝3×＝∴f?. 4??4??444
→→11．(2014·辽宁卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知BA·BC1
＝2，cosB＝，b＝3.求：
3
(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值．
→→
解 (1)由BA·BC＝2，得c·acosB＝2， 1
又cosB＝，所以ac＝6.
3
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB. 又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
??ac＝6解?22，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2. ?a＋c＝13?
因a>c，所以a＝3，c＝2.
4
(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝
1?2221－??3?＝3，
c22242
由正弦定理，得sinC＝sinB＝·＝.
b339
因a＝b>c，所以C为锐角，因此cosC＝1－sin2C＝ 于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC 17224223
＝·＋·＝. 393927
42?27
1－?＝. ?9?9
B级——能力提高组
1．(2014·重庆卷)已知△ABC的内角A，B， C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－1
B)＋，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立
2的是( )
A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>162 C．6≤abc≤12
D．12≤abc≤24
1
解析 由sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，
21
得sin2A＋sin[A－(B－C)]＋sin[A＋(B－C)]＝，
21
所以sin2A＋2sinAcos(B－C)＝. 21
所以2sinA[cosA＋cos(B－C)]＝，
2
1
所以2sinA[cos(π－(B＋C)＋cos(B－C)]＝，
21
所以2sinA[－cos(B＋C)＋cos(B－C)]＝，
21
即得sinAsinBsinC＝.
8
1
根据三角形面积公式S＝absinC，①
21
S＝acsinB，② 21
S＝bcsinA，③ 2
1
因为1≤S≤2，所以1≤S3≤8.将①②③式相乘得1≤S3＝a2b2c2sinAsinBsinC≤8，即
864≤a2b2c2≤512，所以8≤abc≤162，故排除C，D选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故b＋c>a，得bc(b＋c)>8一定成立，而a＋b>c，ab(a＋b)也大于8，而不一定大于162，
5