习题十
11-2．解
??????v???dl=?v?xcos?dl ????dx由sin??得
dl?? ???C?M????uoIbv2?a?lnb?a auIbva??a?dln????v 方向顺时针
2?a?aa?d?o11-3如图11-3所示矩形线框与长直载流线共面，已知线框的长和宽分别为l和b，求下列
各情形矩形线框中的感应电dS动势。 dSCBB（1）（1）I=I0（I0为CCB0v常量），矩形线圈?v以恒定速率v平
hIIxxdxD移至距载流线为Aa的位置时； AAarbNx（2）（2）I=I0sinωt，
xdx矩形线圈不动时； L（3）（3）I=I0sinωt，例8-2图例8-2图解例8-4图矩形线圈以恒定速率v平移至距载流线为a的位置时。 【解】 建立图示坐标系，ABCD在任意位置r时，以A→B→C→D为回路正方向，通过ABCD的磁通量为：
b?0I?Ilr?a????ldx?0ln02?(r?a)2?r
（1） （1） 当I=I0，r=a+vt时，
?Ild?11dr?????0(?)?dt2?r?brdt?Il11?0(?)?02?a?vta?b?vt
方向：顺时针。
（2） （2） 当I=I0sinωt，r=a时，
?ld?a?bdI?????0ln?dt2?adt?I?cos?ta?b?00ln2?a
方向：ε>0时，顺时针；ε<0时，逆时针。 （3） （3） 当I=I0sinωt，r=a=vt时，
?lr?bdI?0Ild?11dr?????0ln??ln(?)?dt2?rdt2?r?brdt?Ilvsin?tvsin?ta?b?vt?00[???cos?tln2?a?vta?b?vta?vt
方向：ε>0时，顺时针；ε<0时，逆时针。
11-4 导体MN在金属架COD上恒定速率v向右滑动，如图11-4图。当t=0时，x=0。求金属框内的感应电动势。设（1）B为均匀磁场；（2）B=kxcosωt。
【解】 设t时刻，MN运动到X位置。在距O为x处，取宽为dx，高为y的面积元：
dS?ydx?xtg?dx ydS?MCBvdxDxN规定：C→O→D→C为回路绕行正方向，则： ??d??B?dS?BdS?Bxtg?dx （1） （1） 当B为均匀磁场时： 12XBtg??02，（B与x无关） d?dX?????Btg??2X?dtdt??Btg??2vt?v??Btg?v2t?0，（B与t无关） ??XBtg?xdx?0x 方向：M→N 例8-1图（2） （2） 当B=kxcosωt时： ????X0kx2cos?ttg?dx?1kX3cos?ttg?31kv3tg?t3cos?t3
d?1????kv3tg?(?t3sin?t?t3cos?t)dt3
方向：若ε>0，其方向为N→M；若ε<0，则其方为M→N。
11-5一半径r=10cm径以恒定速率
?B=0.8T的均匀磁场中．回路平面与B垂直．当回路半
dr-1
=80cm·s收缩时，求回路中感应电动势的大小． dt解: 回路磁通 ?m?BS?Bπr2 感应电动势大小
d?mddr?(Bπr2)?B2πr?0.40 V dtdtdt11-6 一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路，半径R=5cm，如题10-2图所示．均匀磁
-3
场B=80×10T，B的方向与两半圆的公共直径(在Oz轴上)垂直，且与两个半圆构成相等
??的角? 当磁场在5ms内均匀降为零时，求回路中的感应电动势的大小及方向．
?解: 取半圆形cba法向为i， 题11-6图
则 ?m1同理，半圆形adc法向为j，则
πR2?Bcos?
2??m???2πR2?Bcos?
2∵ B与i夹角和B与j夹角相等，
∴ ??45 则 ?m?BπR2cos?
?????d?mdB??πR2cos???8.89?10?2V dtdt方向与cbadc相反，即顺时针方向．
题11-7图
2?11-7 如题11-7图所示，一根导线弯成抛物线形状y=ax，放在均匀磁场中．B与xOy平
面垂直，细杆CD平行于x轴并以加速度a从抛物线的底部向开口处作平动．求CD距O点为y处时回路中产生的感应电动势．
解: 计算抛物线与CD组成的面积内的磁通量
?m?2?BdS?2?ya02B3B(y??x)dx?2y2
3?211d?mB2dy2B2∴ ?????y??yv
dtdt??∵ v?2ay ∴ v?则 ?i??22ay
122B?y122ay??By128a? ?i实际方向沿ODC．
题11-8图
11-8如题11-8图所示，载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b，环心O与导线相距a．设半圆环
以速度v平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压
UM?UN．
解: 作辅助线MN，则在MeNM回路中，沿v方向运动时d?m?0 ∴ ?MeNM?0 即 ?MeN??MN 又∵ ?MN?所以?MeN沿NeM方向，
大小为
??a?ba?bvBcos?dl??0Iva?bln?0 2?a?b?0Iva?bln 2?a?bM点电势高于N点电势，即
UM?UN?
11-9．解（1）
?0Iva?bln 2?a?b?i?Blv
B??Bcos?
??i（2）
1BLgsin2??t 2?i?B?Lv，求V时应考虑安培力
沿斜面应用牛顿定律： mgsin????li?mdv dt i??iR?B?lvR
在棒滑动过程中，回路R可视为不变。解上面的微分方程，利用初始条件t=0,v=0
??Blcos???t?MgRsin???? MR得 V?1?e2??Blcos???????2
11-10 解：
当导体棒由静止开始运动，动生电动势??BLV,回路中的电流为BLV,导线在外磁场中所受到的RRB2L2V安培力为FAB?BIL?其方向与RI??速度V的方向相反由牛顿第二定律知B2L2VdvF??m利用分离变量积分得RdtvtmdvRFB2L2t?0B2L2V??0dt?v?B2L2[1?exp(?mR)]F?R
?题11-12图
?11-12 磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放在题11-12图中位
置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当动势的大小和方向．
dB＞0时，求：杆两端的感应电dt解： ∵ ?ac??ab??bc
?ab???abd?1d323RdB??[?RB]? dtdt44dtd?2dπR2πR2dB????[?B]?
dtdt1212dt