2012年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试
数学试卷（理科）
（2012年4月12日）
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效．
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚． 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接
填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数f(x)?log1(2x?1)的定义域为 ．
2x2?y2?1的一个焦点为F(2,0)，则实数m? ． 2．若双曲线m??3．若?≤x≤，则方程2sinx?1?0的解x? ．
214．已知幂函数y?f(x)存在反函数，若其反函数的图像经过点(,9)，则该幂函数的解析式
3f(x)? ．
5．一盒中有7件正品，3件次品，无放回地每次取一件产品，直至取到正品．已知抽取次数? 的概率分布律如下表：
x P(??x) 1 7 102 3 4 771 30120120那么抽取次数?的数学期望E?? ． 6．一名工人维护甲、乙两台独立的机床，若在一小时内，甲、乙机床需要维护的概率分别为
0.9、0.85，则两台机床都不需要维护的概率为 ．
17．已知z?C，z为z的共轭复数，若0z10，则z? ． 1?0（i是虚数单位）
ziz054???8．已知?、???0,?，若cos(???)?，sin(???)??，则
135?2?cos2?? ．
9．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底 面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面 直线AC1与BC所成角的正切值为 ．
A1C1B1??x?1?5cos?,10．若过圆C：?（0≤??2?）上一点P(?1,0)作
??y??1?5sin?,该圆的切线l，则切线l的方程为 ．
— 1 —
A
第9题
B
C11．若(1?2x)n（n?N*）二项展开式中的各项系数和为an，其二项式系数和为bn，则
limbn?1?an? ．
n??an?1?bn12．设集合P?{1,x}，Q?{1,2,y}，其中x,y?{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且P?Q．若将满足上述
条件的每一个有序整数对(x,y)看作一个点，则这样的点的个数为 ． 13．已知函数f(x)?|x2?2ax?a|（x?R），给出下列四个命题：
① 当且仅当a?0时，f(x)是偶函数； ② 函数f(x)一定存在零点； ③ 函数在区间(??,a]上单调递减；
④ 当0?a?1时，函数f(x)的最小值为a?a2． 那么所有真命题的序号是 ．
OFxyAB14．已知△FAB，点F的坐标为(1,0)，点A、B分别在图中抛物
线y2?4x及圆(x?1)2?y2?4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围为 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答
题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知空间三条直线a、b、m及平面?，且a、b???．条件甲：m?a，m?b；条件
乙：m??，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的???????????????（ ） A．充分非必要条件 C．充分且必要条件
B．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
第14题 16．已知a、b?0，则下列不等式中不一定成立的是??????????????（ ）
ab?≥2 ba2abC．≥ab
a?bA．
11ab1≥22 D．a?b?abB．(a?b)?(?)≥4
17．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且a≤b≤c（a、b、c?N*），若当b?n（n?N*）
时，记满足条件的所有三角形的个数为an，则数列{an}的通项公式???????（ ） A．an?2n?1 C．an?2n?1
n(n?1) 2D．an?n
B．an?18．已知O、A、B、C是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数?1、?2、?3，使得
A．都是钝角 C．恰有两个钝角
— 2 —
B．至少有两个钝角 D．至多有两个钝角
?????????????则三个角?AOB、?BOC、?COA?????????（ ） ?1OA??2OB??3OC?0，
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规
定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2
小题满分4分．
已知三棱锥P?ABC，PA?平面ABC，AB?AC， AB?AC?4，AP?5．
P（1）求二面角P?BC?A的大小（结果用反三角函数值表示）． （2）把△PAB（及其内部）绕PA所在直线旋转一周形成一几何
体，求该几何体的体积V．
20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
已知函数f(x)?23sinx?cosx?cos2x?sin2x?1（x?R） （1）求函数y?f(x)的单调递增区间； （2）若x?[?
BAC5??,]，求f(x)的取值范围． 12321．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）．若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用an（n?N*）表示A型车床在第n年创造的价值．
（1）求数列{an}（n?N*）的通项公式an； （2）记Sn为数列{an}的前n项和，Tn?Sn．企业经过成本核算，若Tn?100万元，则继n续使用A型车床，否则更换A型车床．试问该企业须在第几年年初更换A型车床？
?b?b???bn?（已知：若正数数列{bn}是单调递减数列，则数列?12?也是单调递减
n??数列）．
— 3 —
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小
题满分6分．
已知定点F(2,0)，直线l:x??2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂
????????????足为点Q，且FQ?．设动点P的轨迹为曲线C． （PF?PQ）（1）求曲线C的方程；
（2）过点F的直线l1与曲线C有两个不同的交点A、B，求证：
????????（3）记OA与OB的夹角为?（O为坐标原点，A、B为（2）中的两点），求cos?的取
值范围．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小
题满分6分．
对n?N*，定义函数fn(x)??(x?n)2?n，n?1≤x≤n．
（1）求证：y?fn(x)图像的右端点与y?fn?1(x)图像的左端点重合；并回答这些端点在
哪条直线上．
（2）若直线y?knx与函数fn(x)??(x?n)2?n，n?1≤x≤n（n≥2，n?N*）的图
像有且仅有一个公共点，试将kn表示成n的函数．
111??； |AF||BF|2n≥2，（3）对n?N*，在区间[0,n]上定义函数y?f(x)，使得当m?1≤x≤m（m?N*，
且m?1，?，时，f(x)?fm(x)．试研究关于x的方程f(x)?knx（0≤x≤n，n）2，
n?N*）的实数解的个数（这里的kn是（2）中的kn），并证明你的结论．
— 4 —
2011学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷（理科）
参考答案和评分标准（2012年4月12日）
说明：
1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．(?,??) 2．3 3．4．x?1212?? 611 6．0.015 8637．0或?i 8． 9．2
65110．2x?y?2?0 11．? 12．14
313．①④ 14．(4,6)
5．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．A 16．C 17．B 18．B
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分．
[解]（1）解法一：设BC的中点D，联结AD，PD，易知在等腰三角形PBC、ABC中，PD?BC，AD?BC，故?PDA为二面角P?BC?A的平面角． （2分）
在等腰Rt△ABC中，由AB?AC?4及AB?AC，得AD?22． 由PA?平面ABC，得PA?AD．
PA52?． （6分） AD452故二面角P?BC?A的大小为arctan． （8分）
4在Rt△PAD中，tan?PDA?解法二：如图建立空间直角坐标系，可得各点的坐标
zA(0,0,0)，B(4,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,5)．
????????于是PB?(4,0,?5)，BC?(?4,4,0)． （2分）
— 5 —
ABxPCDy