由PA?平面ABC，得平面ABC的一个法向量n1?(0,0,1)． 设n2?(u,v,w)是平面PBC的一个法向量．
??????因为n2?PB，n2?BC，所以n2?PB?0，n2?BC?0， 即4u?5w?0，?4u?4v?0，解得w?u，v?u，
???????????????????????????????取u?5，得n2?(5,?5,4)． （4分）
????????????n1?n2266设n1与n2的夹角为?，则cos????． （6分） ?????33n1n2266． （8分） 33（2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为4，高为5．
180?该圆锥的体积V??5???42?． （12分）
3320．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
?[解]（1）由题设f(x)?3sin2x?cos2x?1?2sin(2x?)?1， （2分）
6?????由2k??≤2x?≤2k??，解得k??≤x≤k??，
26236????故函数y?f(x)的单调递增区间为?k??,k???（k?Z）． （6分）
36??5??2????（2）由?≤x≤，可得?≤2x?≤． （7分）
123366?考察函数y?sinx，易知-1≤sin(2x?)≤1， （10分）
6?于是-3≤2sin(2x?)?1≤1．
6故y?f(x)的取值范围为[?3,1]． （12分）
结合图可判别二面角P?BC?A是个锐角，它的大小为arccos
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
[解]（1）由题设，知a1，a2，?，a6构成首项a1=250，公差d??30的等差数列．
故an?280?30n（n≤6，n?N*）（万元）． （3分）
45a7，a8，?，an（n≥7，n?N*）构成首项a7=n?711a6=50，公比q=的等比数列．
22?1?故an?50???（n≥7，n?N*）（万元）． （6分）
?2?1≤n≤6?280?30n,?n?7于是，an??（n?N*）（万元）． （7分） ?1??50???,n≥7?2??（2）由（1）知，{an}是单调递减数列，于是，数列{Tn}也是单调递减数列．
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当1≤n≤6时，Tn?Sn． ?265?15n，{Tn}单调递减，T6?175?100（万元）
n所以Tn?100（万元）．
??1?n?6?1050?100??1????1150?100?2??Sn????2n?6， （9分） 当n≥7时，Tn??nnn当n?11时，T11>104（万元）；当n=12时，T12<96（万元）． （13分）
所以，当n≥12，n?N*时，恒有Tn<96．
故该企业需要在第11年年初更换A型车床． （14分） 22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
[解]（1）设点P的坐标为(x,y)． （1分）
????????????由题意，可得Q(?2,y)，FQ?(?4,y)，PF?(2?x,?y)，PQ?(?2?x,0)．（3分） ????????????????????????由FQ与PF?PQ垂直，得FQ?(PF?PQ)?0，即y2=8x（x≥0）． （6分）
因此，所求曲线C的方程为y2=8x（x≥0）．
[证明]（2）因为过点F的直线l1与曲线C有两个不同的交点A、B，所以l1的斜率不为零，故设直线l1的方程为x=my+2． （7分）
í?y2=8x,?于是A、B的坐标(x1,y1)、(x2,y2)为方程组ì的实数解． ???x=my+2,消x并整理得y2-8my-16=0． （8分）
2??y1?y2?8m,?x1?x2?8m?4,于是?进一步得? （10分）
??y1y2??16,?x1x2?4.又因为曲线y2=8x（x≥0）的准线为x??2，
4+x1+x211111+=+==，得证． （12分） 所以
|FA||FB|x1+2x2+2x1x2+2(x1+x2)+42uuruuur（3）由（2）可知，OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)．
uuruuurx1x2+y1y2OA?OB12-3于是cosq=uuruu， ==ur=2222222|OA|×|OB|x1+y1?x2y2x1+8x1?x28x225+16m（16分）可求
轹3÷-3-,0÷得cosq=的取值范围为ê． （18分） ÷2ê?5?25+16m23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
[证明（]1）由fn(n)?n得y?fn(x)图像右端点的坐标为(n,n)，由fn?1(n)?n得y?fn?1(x)图像左端点的坐标为(n,n)，故两端点重合． （2分）
并且对n?N*，这些点在直线y?x上． （4分） [解]（2）由题设及（1）的结论，两个函数图像有且仅有一个公共点，即方程?(x?n)2?n?knx在n?1≤x≤n上有两个相等的实数根．
整理方程得x2?(kn?2n)x?n2?n?0，
由??(kn?2n)2?4(n2?n)?0，解得kn?2n?2n2?n， （8分）
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此时方程的两个实数根x1，x2相等，由x1?x2?2n?kn， 得x1?x2?2n?kn?[2n?(2n?2n2?n)]??n2?n， 22n2因为n?1≤x1?x2≤n，所以只能kn?2n?2n2?n（n≥2，n?N*）．（10分） ，可得1?kn?2，
1n?n?n1?1?n且kn单调递减． （14分）
① 当n≥3时，对于2≤i≤n?1，总有1?kn?ki，亦即直线y?knx与函数fi(x)的图像总有两个不同的公共点（直线y?knx在直线y?x与直线y?kix之间）．
2（3）当n≥2时，kn?2n?2n2?n??对于函数f1(x)来说，因为1?kn?2，所以方程knx?f1(x)有两个解：x1?0，
x2?2?kn?(0,1)．
此时方程f(x)?knx（0≤x≤n，n?N*）的实数解的个数为2(n?1)?1?2n?1．
（16分）
② 当n?2时，因为1?k2?2，所以方程k2x?f1(x)有两个解．此时方程f(x)?k2x（0≤x≤2）的实数解的个数为3． （17分）
综上，当n≥2，n?N*时，方程f(x)?knx（0≤x≤n，n?N*）的实数解的个数为2n?1． （18分）
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