第二章 直线与平面
习题2.1
1.求通过两点A(2,3,4)和B(5,2,?1)的直线方程。
????x?2y?3z?4解：直线的方向向量为AB?(3,?1,?5)，所以直线的方程为??.
3?1?52.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的普通方程和参数方程。 （1）过点(?1,2,0),(?2,?1,4),(3,1,?5)； （2）过点(3,1?2)和z轴；
（3）过点(2,0,?1)和(?1,3,4)，平行于y轴； （4）过点(?1,?5,4)，平行于平面3x?2y?5?0。
解：（1）平面的方位向量为v1?(?1,?3,4),v2?(4,?1,?5)，所以平面的参数方程
?x??1???4?,??y?2?3???, ?z?4??5?.?平面的普通方程为
x?1?14y?2?3?1z4?0,即19x?11y?13z?3?0. ?5（2）平面的方位向量为v1?(3,1,?2),v2?(0,0,1)，所以平面的参数方程
?x?3?3?,?因为过z轴，所以也可选经过的点为(0,0,0)，那么参数方程也可以?y?1??,?z??2?2???.??x?3?,?写为 ?y??,
?z??2???.?平面的普通方程为
x30y10z?2?0,即x?3y?0. 1（3）平面的方位向量为v1?(?3,3,5),v2?(0,1,0)，所以平面的参数方程
?x?2?3?,??y?3???, ?z??1?5?.?平面的普通方程为
x?2?30y31z?150?0,即5x?3z?7?0.
（4）平面的方位向量平行于平面3x?2y?5?0，方位向量(X,Y,Z)满足
3X?2Y?0，因此可以选为v1?(2,3,0),v2?(0,0,1)。所以平面的参数方程
?x??1?2?,??y??5?3?, ?z?4??.?平面的普通方程为
x?120
y?5z?43001?0,即3x?2y?7?0.
3.在直角坐标系中，求通过点(1,0,?2)并与平面
?1:2x?y?z?2?0和?2:x?y?z?3?0
均垂直的平面方程。
解：平面?1,?2的法向量分别是n1?(2,1,?1),n2?(1,?1,?1)，所求平面与?1,?2均垂直，所以它的法向量n与n1,n2均垂直，因此
n?n1?n2?(2,1,?1)?(1,?1,?1)?(?2,1,?3),
平面的方程为?2(x?1)?y?3(z?2)?0,即2x?y?3z?6?0.
4. 在直角坐标系中，求经过点M1(3,?1,4),M2(1,0,?3)，垂直于平面
2x?5y?z?1?0的平面方程。
????????解：设平面的法向量为n，则它与M1M2垂直，它又与平面2x?5y?z?1?0的法向
量(2,5,1)，故n?(?2,1,?7)?(2,5,1)?12(3,?1,?1).所以所求平面的方程为
3(x?3)?(y?1)?(z?4)?0,即3x?y?z?6?0.
5. 在直角坐标系中，设平面?的方程为Ax?By?Cz?D?0，其中ABCD?0。设此平面与三坐标轴分别交于M1,M2,M3，求三角形M1,M2,M3的面积和四面体
OM1M2M3的体积。
解：由于ABCD?0，所以平面的三个截距分别为?3DDD,?,?。因此四面体ABC1DDD1D. OM1M2M3的体积为V?(?)(?)(?)?6ABC6ABC?????????1???????三角形M1,M2,M3的面积S?M1M2?M1M3,
2????????????????DDDD111而M1M2?M1M3?(,?,0)?(,0,?)?D2(,,),
ABACBCCAABD2所以S?2A2?B2?C2.
ABC6.设平面?:Ax?By?Cz?D?0与连接两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)的线
??????????????段相交于点M，且M1M?kMM2，证明
k??Ax1?By1?Cz1?D。
Ax2?By2?Cz2?D??????????????证明：因为M1M?kMM2，所以由定比分点的坐标公式得到点M的坐标
x?x1?kx2y?ky2z?kz2,y?1,z?1,将它们代入平面方程中得
1?k1?k1?kAx1?kx2y?ky2z?kz2?B1?C1?D?0,整理即得
1?k1?k1?kk??Ax1?By1?Cz1?D。
Ax2?By2?Cz2?D习题2.2
1.求经过点(?2,1,3)，并且通过两平面2x?7y?4z?3?0与3x?5y?4z?11?0的
交线的平面方程。
解：经过交线的平面束方程为?1(2x?7y?4z?3)??2(3x?5y?4z?11)?0，其中
?1,?2不全为零。所求平面经过点(?2,1,3)，将它代入上式得到?1?6?2?0，可以取
?1?6,?2?1，因此平面的方程为15x?47y?28z?7?0.
2.判断下列各对平面的相关位置。
（1）x?2y?z?2?0与3x?y?2z?1?0；
（2）3x?9y?6z?2?0与2x?6y?4z?4?0； 3（3）x?2y?z?1?0与
xz?y??2?0。 22解：（1）平面的法向量分别是(1,?2,1),(3,1,?2)，它们不共线，所以两平面相交。 （2）两平面的系数之比的关系为
39?62???，所以两平面重合。 26?443（3）第二个平面的方程化为x?2y?z?4?0，所以两平面的系数之比的关系为
121?1，所以两平面平行。 ???12143.将下列直线的普通方程化为标准方程。 （1）??3x?y?2?0,?y?1?0,（2）?
?4y?3z?1?0;?z?2?0.?3x?y?2,xy?2z?3所以标准方程为??.
13?4?4(y?2)??3(z?3),解：（1）方程可写成?（2）标准方程为
xy?1z?2??. 1004.求通过点N0(1,4,?2)且与两平面
?1:6x?2y?2z?3?0,?2:3x?5y?2z?1?0
均平行的直线方程。
解：直线的方向向量v?(X,Y,Z)与已知两平面均平行，所以
?6X?2Y?2Z?0,得到X:Y:Z?1:3:(?6), ??3X?5Y?2Z?0于是直线的方程为
x?1y?4z?2??. 13?65.判断下列各对直线的位置。 （1）
x?1y?1z?2xy?6z?5； ??,??331?123（2）??x?y?z?0,?x?z?1?0, ?y?z?1?0,x?y?1?0.??x?1y?1z?2经过点M1(?1,1,2)，方向向量是v1?(3,3,1)，直??331解：（1）直线
线
xy?6z?5经过点M2(0,6,?5)，方向向量是v2?(?1,2,3)。 ???12315?7????????混合积(M1M2,v1,v2)?331??106?0,所以两直线异面。
?123（2）直线??x?y?z?0,?x?z?1?0,x?1y?1z方程可分别化为??, ?01?1y?z?1?0,x?y?1?0.??x?1yz??.经过的点分别是M1(1,?1,0),M2(?1,0,0).方向向量分别是?111010????????v1?(0,1,?1),v2?(?1,1,1).混合积(M1M2,v1,v2)?01?1?1?0,且v1?v2?0,所
?111以两直线异面且互相垂直。
6.求直线??x?z?2与平面x?2y?7?0的交点。
?y?1?3z解：将直线方程代人平面方程得到z?2?2(1?3z)?7?0,所以z?1，故交点为
(3,?2,1)。
7.求通过直线l1:??3x?4y?5z?10?0且与直线l2:x?2y?3z平行的平面方程。
?2x?2y?3z?4?0