k??Ax1?By1?Cz1?DF??1?0，
Ax2?By2?Cz2?DF2所以F1?Ax1?By1?Cz1?D与F2?Ax2?By2?Cz2?D同号。
6. 在直角坐标系中，求与平面Ax?By?Cz?D?0平行且与它的距离为d的平面方程。
解：设点M(x,y,z)到平面Ax?By?Cz?D?0的距离为d，则
d?Ax?By?Cz?DA?B?C222,
因而所求平面的方程为Ax?By?Cz?D?d7.求点M1(3,?1,2)到直线?解：直线方程的标准形式为
A2?B2?C2?0.
?2x?y?z?1?0,的距离。
?x?y?z?1?0xy?1z，??,所以直线经过点M(0?,1,0)方向向量为v?(0,1,1)，则
011??????MM2,3,，点3)M1(3,?1,2)到直线的距离为d?1?v?(?8.求下列各对直线之间的距离。 （1）
??????MM1?vv?222?11.
x?1y?1z?5xy?6z?5??,??; ?1323?9?6xy?2z?1x?1y?3z?1??,??; 2?2?142?1（2）
（3）??x?y?z?1?0,?x?y?0,?x?2y?3z?6?0, ?2x?y?3z?6?0.?解：（1）两直线分别经过点M1(?1,1,?5)，M2(0,6,?5)，方向向量分别是
v1?(?1,3,2),v2?(3,?9,?6)，因此两直线平行，它们的距离为一直线的某点到另一直线
????????的距离，所以M1M2?v1?(10,?2,8)，它们的距离为
d?????????M1M2?v1v1?16814?23.
（2）两直线分别经过点M1(0,?2,1)，M2(1,3,?1)，方向向量分别是
v1?(2,?2,?1),v2?(4,2,?1)，M1M2?(1,5,?2),v1?v2?(4,?2,12),
????????????????????????(M1M2,v1,v2)?M1M2?(v1?v2)??30，所以它们异面，它们的距离为 d?????????(M1M2,v1,v2)v1?v2?30164?1541.
（3）两直线方程的标准形式可写为
xyz?1xyz?2??,??,两直线分别经过点M1(0,0,1)，M2(0,0,?2)，方1?101?1?1????????向向量分别是v1?(1,?1,0),v2?(1,?1,?1)，v1,v2不平行，M1M2?(0,0,?3),
????????????????v1?v2?(1,1,,0),(M1M2,v1,v2)?M1M2?(v1?v2)?0，所以它们相交，它们的距
离为0。
9.求下列各对直线的公垂线的方程。
（1）x?1?yzxyz?与??; ?3321?2（3）??x?y?1?0,?x?z?1?0,与?
?z?0?2y?z?2?0.解：（1）两直线的方向向量是v1?(1,?3,3),v2?(2,1,?2)，所以公垂线的方向向量为
v?v1?v2?(3,8,7)。
公垂线在过直线x?1?yz?且与向量v?(3,8,7)平行的平面上，平面法向量是?33，所以该平面方程是45(x?1)?2y?17z?0。 n1?(3,8,7)?(1,?3,3)?(45,?2,?17)公垂线又在过直线
xyz??;且与向量v?(3,8,7)平行的平面上，平面法向量是21?2，所以该平面方程是23x?20y?13z?0，因n2?(3,8,7)?(2,1,?2)?(?23,20,?13)此公垂线的方程是
?45x?2y?17z?45?0, ??23x?20y?13z?0.（2）两直线方程的标准形式可为
x?1yzx?1yz?2， ??，??1?102?12所以公垂线的方向向量为v?(1,?1,0)?(2,?1,2)?(?2,?2,1)。 公垂线在过直线
x?1yz??且与向量v?(?2,?2,1)平行的平面上，平面法向量是1?10n1?(1,?1,0)?(?2,?2,1)?(?1,?1,?4)，所以该平面方程是x?y?4z?1?0。
公垂线又在过直线
x?1yz?2，且与向量v?(?2,?2,1)平行的平面上，平面??2?121,?2?)，该,平6面(?2,?2,?1)所?以(3,方6程)是
法向量是n2?(2?,(x?1)?2y?2(z?2)?0，因此公垂线的方程是
?x?y?4z?1?0, ??x?2y?2z?3?0.
10.求下列各对直线的夹角。 （1）
x?1y?3z?4x?1yz?1??,??; ?112?24?3（2）??x?y?z?1?0,?3x?y?1?0, ??x?y?2z?1?0,?y?3z?2?0.解：（1）两直线的方向向量是v1?(?1,1,2),v2?(?2,4,?3)，所以夹角满足
cos??v1?v2v1v2?0,因此夹角为
?2。
（2）两直线的方向向量是v1?(1,1,0),v2?(1,?3,1)，所以夹角满足
cos??v1?v2v1v2?2211?22, 11因此夹角为??arccos2222或????arccos. 111111.求下列直线与平面的夹角。 （1）l:x?1yz?1??,?:x?2y?4z?1?0; 21?1?x?y?z?2?0,?:2x?z?1?0. （2）l:??2x?3y?3?0,解：（1）直线l的方向向量为v?(2,1,?1)，平面的法向量为n?(1,?2,4)，则
v?n??4，所以夹角满足sin??v1?v2v1v2?4621?214214. ,因此夹角??arcsin2121（2）直线l的方向向量为v?(?3,?2,?1)，平面的法向量为n?(2,0,?1)，则
v?n??5，所以夹角满足sin??v1?v2v1v2?5145?7070. ,因此夹角??arcsin141412.已知两条异面直线l1与l2，证明：连接l1上任一点和l2上任一点的线段的中点轨迹是公垂线段的垂直平分面。
证明：以公垂线为z轴，过公垂线段的中点与公垂线垂直的平面为xOy面，两异面直线在xOy面上的投影直线的角平分线为x轴和y轴建立空间直角坐标系。则两异面直线的方
程可设为
xyz?axyz?a与????,其中2a是两直线的距离，k?0。
1k01?k0现在从两直线上分别任取一点(t,kt,a),(s,?ks,?a)，则它们的中点(x,y,z)满足
x?t?sk(t?s),y?,z?0，这是公垂线段的垂直平分面的参数方程，所以中点轨22迹是公垂线段的垂直平分面。
13.设在直角坐标系中，平面?1与?2的方程分别为
2x?y?2z?3?0和3x?2y?6z?1?0
求由?1与?2构成的二面角的角平分面的方程，在此二面角内有点P(1,2,?3)。 解：角平分面上的点(x,y,z)到两平面的距离相等，所以
2x?y?2z?33x?2y?6z?1，由于该二面角内有点P(1,2,?3)，且?372?1?2??2?(3?)?3?9?3?1?2?2??6?(3?)?1，所以2?4P(1,2,?3)在?1的负侧，在?2的正侧，因此角平分面上的点在?1的负侧，在?2的正侧，或在?1的正侧，
在?2的负侧，所以角平分面上的点满足7(2x?y?2z?3)??3(3x?2y?6z?1)，整理得到23x?y?4z?24?0.
14.证明：两异面直线l1，l2的公垂线段的长度就是l1，l2之间的距离。
证明：以公垂线为z轴，过公垂线段的中点与公垂线垂直的平面为xOy面，两异面直线在xOy面上的投影直线的角平分线为x轴和y轴建立空间直角坐标系。则两异面直线的方
程可设为l1:xyz?axyz?a与l2:????,其中2a是两直线的距离即公垂线段
1k01?k0的长度，k?0。
现在从两直线上分别任取一点P(t,kt,a),Q(s,?ks,?a)，两点距离为
????PQ?(t?s)2?k2(t?s)2?(2a)2?2a,即公垂线段的长度是最小的，
因此两异面直线l1，l2的公垂线段的长度就是l1，l2之间的距离。