2010年高考数学湖南（理）（word版含答案）

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类） 本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式：锥体的体积公式为V?1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 3 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合M??1，2，3?，N??2，3，4?，则 A．M?N C．MB．N?M D．MN??2，3? N??1，4? 2．下列命题中的假命题是 ．．． A．?x?R，2x?1＞0 ?B．?x?N，?x?1?＞0 2C．?x?R，lgx?1 D．?x?R，tanx?2 ?x??1?t，3．极坐标方程??cos?和参数方程?（t为参数）所表示的图形分别是 y?2?3t? A．圆、直线 C．圆、圆 B．直线、圆 D．直线、直线 4．在Rt△ABC中，?C?90，AC?4，则ABAC等于 5． A．?16 4B．?8 C．8 D．16 1?2xdx等于 A．?2ln2 B．2ln2 C．?ln2 D．ln2 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若?C?120，c?2a，则 A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a与b的大小关系不能确定 7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A．10 B．11 C．12 D．15 }表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)?min{|x|，|x?t|}的图象关于8．用min{a，b直线x??1对称，则t的值为 2 A．?2 B．2 C．?1 D．1 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的．．．横线上． 9．已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间．若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 ． T 10．如图1所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A，B O 两点．已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB 的长为 ． 11．在区间[?1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为 ． 2222P A 图1 B 12．图2是求1?2?3?…?100的值的程序框图，则正整数n? ． 开始 h i?1，s?0 i?i?1 i≤n? 是 否 输出s 5 正视图 s?s?i2 6 侧视图 （单位：cm） 俯视图 图3 结束 图2 313．图3中的三个直角三角形是一个体积为20cm的几何体的三视图，则h? cm． 14．过抛物线x?2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为122，则p? ． 15．若数列?an?满足：对任意的n?N，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的??，2，3，…，n,…，则得到一个新数列?(an)?．例如，若数列?an?是1m的个数为(an)?，?1，2，…，n?1，…．已知对任意的n?N?，an?n2，则则数列(an)是0，2??(a5)?? ，((an)?)?? ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?3sin2x?2sin2x． （Ⅰ）求函数f(x)的最大值； （II）求函数f(x)的零点的集合． 17．（本小题满分12分） 图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图． （I）求直方图中x的值； （II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望． 频率／组距 0.39 0.37 0.3 0.2 x 0.1 0.02 0 1 2 3 4 5 月均用水量／吨 图4 18．（本小题满分12分） 如图5所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． （I）求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值； （II）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论． A1 D1 B1 E C1 A D C B 图5 19．（本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线x?2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过65km5的区域；在直线x?2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过45km的区域． （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程； （Ⅱ）如图6所示，设线段PP，当冰12，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界） 已 冰 (?4，0) O B (4，0) A P1 (?53，?1) 川 x?2 图6 20．（本小题满分13分） 川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间． 区 域 化 ?83? 6?P2 ???3，?y P3 (8，6) ??融 x 已知函数f(x)?x2?bx?c(b，c?R)，对任意的x?R，恒有f?(x)≤f(x)． （I）证明：当x≥0时，f(x)≤(x?c)2； （II）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)?f(b)≤M(c2?b2)恒成立，求M的最小值． 21．（本小题满分13分） 数列{an}(n?N*)中，a1?a，an?1是函数fn(x)?极小值点． （I）当a?0时，求通项an； （II）是否存在a，使数列{an}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． 131x?(3an?n2)x2?3n2anx的32 2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 理科数学试题参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．B 3．A 4．D 5．D 6．A 7．B 8．D 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的．．．横线上． 9．171.8或148.2 10．6 11．23 12．100 13．4 14．2 15．2，n2 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分） 16．解：（I）因为f(x)?3sin2x?(1?cos2x) ?2sin(2x?π6)?1， 所以，当2x?π6?2kπ?π2，即x?kπ?π6(k?Z)时，函数f(x)取得最大值1． （II）解法1 由（I）及f(x)?0得sin(2x?π16)?2， 所以2x?π6?2kπ?π6，或2x?π6?2kπ?5π6，即x?kπ，x?kπ?π3 故函数f(x)的零点的集合为{x|x?kπ，或x?kπ?π3，k?Z}． 解法2 由f(x)?0得23sinxcosx?2sin2x，于是sinx?0，或3cosx?sin即tanx?3． 由sinx?0可知x?kπ；由tanx?3可知x?kπ?π3． 故函数f(x)的零点的集合为{x|x?kπ，或x?kπ?π3，k?Z}． 17．解：（I）依题意及频率分布直方图知， 0.02?0.1?x?0.37?0.39?1， 解得x?0.12． （II）由题意知，X~B（3，0.1）． 因此 P(X?0)?C023?0.93?0.729，P(X?1)?C13?0.1?0.9?0.243， x