例11、已知不等式
x?5ax?22?1＞
2的角是x＞?12的一部分，试求a的取值范围。 例12、设整数a,b满足a2+b2
+2＜ab+3b,求a,b的值。 提示：将原不等式两边同乘以4并整理得
(2a-b)2+3(b-2)2＜4 (1)，
又因为a,b都是整数。故(2a-b)2+3(b-2)2?3。若(b-2)2?1，则3(b-2)2?3，这不可能。故0? (b-2)2＜1，从而b=2.将b=2代入（1）得(a-1)2＜1,故(a-1)2=0， a=1.所以a=1,b=2.
第九讲 恒等变形
一、知识要点
1、代数式的恒等：两个代数式，如果对于字母的一切允许值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。
2、恒等变形：通过变换，将一个代数式化为另一个与它恒等的代数式，称为恒等变形。二、例题示范
例1、已知a+b+c=2,a2+b2+c2=8,求ab+bc+ca的值。
例2、已知y=ax5+bx3+cx+d，当x=0时，y=?3；当x=?5时,y=9。当x=5时，求y的值。提示：整体求值法，利用一个数的奇、偶次方幂的性质。
例3、若14(a2+b2+c2)=(a+2b+3c)2，求a:b:c。 提示：用配方法。
注：配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用有关性质来解题.
例4、求证(a2+b2+c2)(m2+n2+k2) ?(am+bn+ck)2=(an?bm)2+(bk?cn)2+cm?ak)2 提示：配方。
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例5、求证：2(a?b)(a?c)+2(b?c)(b?a)+2(c?a)(c?b)=(b?c)2+(c?a)2+(a?b)2。 提示：1、两边化简。2、左边配方。
例6、设x+2z=3y,试判断x2?9y2+4z2+4xz的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否则，请说明理由。
例7、已知a+b+c=3, a2+b2+c2=3，求a2002+b2002+c2002的值。
例8、证明：对于任何四个连续自然数的积与1的和一定是某个整数的平方。 提示：配方。
例9 、已知a2
+b2
=1,c2
+d2
=1,ac+bd=0,求ab+cd的值。 提示：根据条件，利用1乘任何数不变进行恒等变形。
例10、（1984年重庆初中竞赛题）设x、y、z为实数，且 (y-z)2
+(x-y)2
+(z-x)2
=(y+z-2x)2
+(z+x-2y)2
+(x+y-2z)2
.
求的值.
例11、设a+b+c=3m,求证:(m-a)3
+(m-b)3
+(m-c)3
-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.
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第十讲 代数式的值
一、知识要点
求代数式的值的主要方法： 1、利用特殊值；
2、先化简代数式，后代入求值； 3、化简条件后代入代数式求值；
4、同时化简代数式和条件式再代入求值； 5、整体代入法； 6、换元法。 二、例题示范
例1、已知a为有理数，且a3+a2+a+1=0,求1+a+a2+a3+?+a2001的值。 提示：整体代入法。
例2 （迎春杯初中一年级第八届试题）若
例3、已知a+b+c=0,求(a+b)(b+c)(c+a)+abc的值。 提示：将条件式变形后代入化简。
例4、当a=?0.2,b=?0.04时，求代数式7271173(a2?b)?72(a?b?0.16)?4(a?b)值。
例5、已知x2+4x=1,求代数式x5+6x4+7x3?4x2?8x+1的值。 提示：利用多项式除法及x2+4x?1=0。
例6、(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x2-3x+1=0的根,试求
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的值.
例7、已知x,y,z是有理数，且x=8?y,z2=xy?16，求x,y,z的值。 提示：配方，利用几个非负数之和为零，则各个非负数都是零。
例8、已知x,y,z,w满足方程组
??x?y?z?2w??2 ??x?y?2z?w?7?x?2y?z?w?5
??2x?y?z?w??5求xyzw的值。
例9、已知a+b+c=3,(a?1)3+(b?1)3+(c?1)3=0,且a=2,求a2+b2+c2的值。 例10 若
求x+y+z的值.
提示 令
例11（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=______, b+c+d+e=_____. 例12、若a,c,d是整数，b是正整数，且a+b=c,b+c=d,c+d=a，求a+b+c+d的最大值。（1991年全国初中联赛题）
第十一讲 直线与线段
一、知识要点 1、直线：（1）直线可向两方无限延伸；（2）过两点有且只有一条直线。 2、射线：
3、线段：直线上两点和它们之间的部分称为线段，线段有两个端点。两点间的所有连线中，线段最短。
4、三角形两边之和大于第三边。 二、例题示范
例1、如图，请用线段a,b,c来表示x。
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练习1、线段AB长5cm，在AB上取点C，若AC长x，BC长为y，则y与x的关系式是__________，x取值范围是__________。在下面空处作出简图。
练习2、线段PC=1cm，延长PC至D，若CD=x，PD=y，则y与x的关系式是______________，x取值范围是__________。在下面空处作出简图。
例2、在一条直线上，如果给定n个点，那么以它们为端点的线段共有多少条？若从左至右相邻两点的线段的长度依次为a1,a2?,an-1，求所有线段的长度之和。 提示：长度之和S=a1?(n-1) ?1+a2?(n-2) ?2+?+an-1?1?(n-1)
例3、如图，点C、D、E是线段AB的四等分点，点F、G是线段AB的三等侵占为，已知AB=12cm，求CF+DF+EF的长。
例4、将直线上的每一点都染上红、黄色中的一种，求证：必存在同颜色的三个点，使其中一点是另两点连线段的中点。
提示：用构造法。并且用5个点来保证满足条件的点。
例5、在一条直线上已知四个不同的点依次是A、B、C、D，请在直线上找出一点P，使PA+PB+PC+PD最小。
例6、直线上分布着2002个点，我们来标出以这些点为端点的一切可能的线段的中点。试求至少可以得出多少个互不重合的中点。
提示：用归纳法。一般地，若直线上分布着n个点，结论为2n?3。
例7、点A、B在直线MN的两侧，请在MN上求一点P，使PA+PB为最小。
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