例1、判断下列不定方程（组）哪些有整数解，哪些没有整数解。 (1) 4x+6y=7 (2) 4x+8y=10
(3) ??6x?3y?5 ?y?2z?1 (4)
?6x?3y?10??y?2z?1
例2、求方程3x+5y=1的整数解。 （1）观察法； （2）辗转相除法。
练习：求4x+5y=7的整数解。
例3、求方程37x+107y=25的整数解。
例4、求方程7x+4y=100的所有正整数解。
例5、如果三个既约真分数2ab3,4,5的分子都加上b，这时得到的三个分数的和为6，求
这三个既约真分数的积。
例7、百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
提示：列不定方程组，化为不定方程解之。
例8、设七位数62xy427为99的倍数，则x,y的值是 。
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例9、某校学生200人左右，但不超过210人。按四列排队最后余1人，按6列排队最后余1人，按9列排队最后余4人，问有多少学生？
例10、某少年2003年的年龄等于出生年份的末两位数字之和，求他的出生年份。
第十七讲 待定系数法
一、知识要点
1、待定系数法：通过设立待定的未知系数来解决问题的方法。
2、待定系数法的特点：先假定一个恒等式，其中含有待定的未知系数，然后根据题目条件找到待定系数字母所满足的关系式，求出待定系数，使问题得以解决。
3、待定系数法的理论依据：两个多项式恒等，则对于字母的任意允许值，其值相等。 二、例题示范
例1、有一个一元二次多项式f(x)，已知f(0)=1,f(2)=7,f(3)=16,求f(-1)的值。
练习1：求一个一元二次多项式，使得x=0时，其值为?1，x=1时，其值为2，x=0时，其值为3。
例2、设f(x)=ax2,g(x)=bx?2,当x=1,2时，f(x)=g(x)，求a,b的值。
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例3、下列各式的左边应配上什么数，才能得到中右边的平方：x
（1）x2?3+ = (x? )2, （2）3x2?2x+ =3(x? )2
例4、若3x2+ax?7被3x?2除后余5，求商式和a的值。
例5、如果多项式xy+3y?2x?6是x+3与另一多项式的乘积，试求这个多项式。 提示：设xy+3y?2x?6=(x+3)(ay+b)
练习2 试将x2+x?2表示为两个一次因式的乘积。
例6、有一数列1，4，7，10，?，2002，?，请问2002是这个数列的第几项？提示：an=3(n-1)+1
例7、已知x4?4x3+12x2?16x+m是一个完全平方式，求常数m的值。 提示：设x4?4x3+12x2?16x+m=(x2+ax+b)2.
例8、试将多项式x2+x+1表示成a(x-1)2+b(x-1)+c的形式。
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例9、若
1n(n?m)?a(1n?1m)，试确定a的值，其中m,n为已知数。并求
14?128?177?1198???110300的值。
第十八讲 抽屉原理
大家知道，两个抽屉要放置三只苹果，那么一定有两只苹果放在同一个抽屉里，更一般地说，只要被放置的苹果数比抽屉数目大，就一定会有两只或更多只的苹果放进同一个抽屉，可不要小看这一简单事实，它包含着一个重要而又十分基本的原则——抽屉原则. 一、抽屉原则有两种最常见的形式：
原则1：如果把n+k(k≥1)个物体放进n只抽屉里，则至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体。
证明：假设每一个抽屉中最多只有一个物体，则这n只抽屉所有的物体之和小于或等于n个，与已知条件矛盾，所以至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体。 原则2： 如果把mn+k(k≥1)个物体放进n个抽屉，则至少有一个抽屉至多放进m+1个物体. 证明 同原则1相仿.若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能. 二、应用举例
例1、某学校有367名学生生于1988年，证明：在至少有两个人的生日是同一天。
例2、求证：任取8个整数，其中必存在两个数，其差是7的倍数。
提示：把8个整数按被7除的余数分类，共有7类，根据抽屉原理1可知，必有两个整数属于同一类，即这两个整数被7除所得的余数相同，从而其差能被7整除。
例3、幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，则不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.
例4、夏令营组织2002名营员去游览故宫、景山公园、北海公园、规定每人至少去一处，最多去两处游览，试问至少有几人游览的地方完全相同？证明你的结论。
例5、正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同.
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例6、有黑、白、黄筷子各8只，不用眼睛看，任意地取出筷子来，使得至少有两双不同色的筷子，那么至少要取出多少只筷子才能做到？
例7、已知一个圆，经过圆心任意作993条直径，它们与圆共有1996个交点，在每个交点处分别填写从1到496中的一个整数（可以重复填写）。证明：一定可以找到两条直径，它们两端的数之和相等。
例8、把1到10的自然数摆成一个圆 圈，证明一定存在在个相邻的数，它们的和数大于17.
例9、 从自然数1，2，3，?99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数，，它们中的一个是另一个的倍数.
第十九讲 计数
一、知识要点
1、 加法原理：完成一件事，可以有n类办法，在第一类方法中，有m1种不同的方法，
在第二类办法中，有m2种不同的方法??，在第n类办法中，有mn种不同的方法。那么，完成这件事共有：N=m1+m2+??+mn种不同的方法。
2、 乘法原理：完成一件事，需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步 有m2种不同的方法??，做第n步有mn种不同的方法。那么，完成这件事共有：N=m1×m2×??×mn种不同的方法。
3、 组合数公式：从m个不同元素里，每次取n个不同的元素，只管元素的组成而不管
排列顺序，叫做从m个不同元素里，每次取n个不同的元素的组合。从m个不同元素里，每次取n
个元素的组合的种数（用Cnm表示）可用下面公式计算：
Cnm?(m?1)???(m?n?1)m?n?(n?1)???2?1 二、例题示范
例1、有5件不同的上衣，3 条不同的裤子，4顶不同的帽子，从中取出一件上衣、一顶帽子、一条裤子配成一套装束，最多有多少种不同的装束？
例2、从甲地到乙地，乘坐火车、汽车或轮船中的任何一种均可直接到达。如果每天从甲地 到乙地有火车4班，汽车8班，轮船2班，试问从甲地到乙地在一天中共有多少种不同的走 法？
例3、从甲地到乙地，必须经过A地中转，如果从甲地到A地有4条路，A地到乙地有3 条路，问从甲地到乙地的途径有几种？
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