所以，an?an?1?k(an?an?1)，(n?2,3,4,???)，得k?1．?????????5分 （2）由b1?a2?a1?0，可得
b2?a3?a2?f(a2)?f(a1)?k(a2?a1)?0.
且当n?2时，bn?an?1?an?f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)?????kn?1(a2?a1)?0 所以，当n?2时，
bna?af(an)?f(an?1)k(an?an?1)?n?1n???k，?????????4分 bn?1an?an?1an?an?1an?an?1因此，数列{bn}是一个公比为k的等比数列．????????????????1分 （3）解答一：写出必要条件，如，由（1）知，当k?1时，数列{an}是等差数列，
所以k?1是数列{an}为等比数列的必要条件． ????????????3分 解答二：写出充分条件，如f(x)?2x或f(x)??2x等，并证明 ?????? 5分 解答三：{an}是等比数列的充要条件是f(x)?kx(k?1)????????2分 充分性证明：
若f(x)?kx(k?1)，则由已知a1?a?0，an?f(an?1)(n?2,3,4,???)得
an?kan?1(n?2,3,4,???)
所以，{an}是等比数列．???????????????????????2分 必要性证明：若{an}是等比数列，由（2）知，bn?kn?1(a2?a1)(n?N)
?b1?b2?????bn?1?(a2?a1)?(a2?a1)?????(an?an?1)?an?a1(n?2)，
an?a1?(b1?b2?????bn?1)． ????????????????1分
当k?1时，an?a1?(a2?a1)(n?1)(n?2)． 上式对n?1也成立，所以，数列{an}的通项公式为：
an?a?(f(a)?a)(n?1)(n?N?)．
所以，当k?1时，数列{an}是以a为首项，f(a)?a为公差的等差数列．
所以，k?1．??????????????????????????1分
1?kn?1当k?1时，an?a1?(a2?a1)(n?2)．
1?k上式对n?1也成立，所以，
1?kn?1f(a)?a(f(a)?a)kn?1an?a?(f(a)?a)?a??????????1分
1?k1?k1?k所以，a?f(a)?a?0?f(a)?ka． ????????????????1分
1?k即，等式f(a)?ka对于任意实数a均成立．
所以，f(x)?kx(k?1)．???????????????????????1分 20．（本题满分16分）
设函数f(x)的定义域为D，值域为B，如果存在函数x?g(t)，使得函数y?f(g(t))的值域仍然是B，那么，称函数x?g(t)是函数f(x)的一个等值域变换，
（1）判断下列x?g(t)是不是f(x)的一个等值域变换？说明你的理由；
(A)f(x)?2x?b,x?R，x?g(t)?t2?2t?3,t?R； (B)f(x)?x2?x?1,x?R，x?g(t)?2t,t?R；
mt2?3t?n（2）设f(x)?log2x的值域B?[1,3]，已知x?g(t)?是f(x)的一个等值域变换，且函数
t2?1f(g(t))的定义域为R，求实数m,n的值；
（3）设函数f(x)的定义域为D，值域为B，函数g(t)的定义域为D1，值域为B1，写出x?g(t)是f(x)的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必要性．
?b,?x的R值域为R，x?t2?2t?3?(t?1)2?2?2，解：（1）(A)：函数f(x)?2xy?f(g(t))?2[(t?1)2?2]?b?4?b，
所以，x?g(t)不是f(x)的一个等值域变换； ????2分
1333(B)：f(x)?x2?x?1?(x?)2??，即f(x)的值域为[,??)，
244431233t当t?R时，f(g(t))?(2?)??，即y?f(g(t))的值域仍为[,??)，
2444所以，x?g(t)是f(x)的一个等值域变换； ????5分 （2）f(x)?log2x的值域为[1,3]，由1?log2x?3知2?x?8，
即f(x)?log2x定义域为[2,8]， ????6分 因为x?g(t)是f(x)的一个等值域变换，且函数f(g(t))的定义域为R，
mt2?3t?n,t?R的值域为[2,8]， ????8分 所以，x?g(t)?2t?1mt2?3t?n2??8?2(t2?1)?mt2?3t?n?8(t2?1)， 2t?1所以，
?(m?2)t2?3t?(n?2)?0恒有?，且存在t1,t2?R使两个等号分别成立，???10分 2?(m?8)t?3t?(n?8)?02?m?8??于是??1?9?4(m?2)(n?2)?0，
???9?4(m?8)(n?8)?0?2?33?33m?5?m?5?????22????13分 解得 ?或??n?5?33?n?5?33??22??（3）设函数f(x)的定义域为D，值域为B，函数g(t)的定义域为D1，值域为B1，则x?g(t)是f(x)的一个等值域变换的充分非必要条件是“D=B1”． ????15分
条件的不必要性的一个例子是．
f(x)?x2，D?R，B?[0,??) g(t)?2t?1，D1?R，B1?(?1,??)
此时D?B1，但f(g(t))?(2t?1)2的值域仍为B?[0,??)，
即g(t)?2t?1(x?R)是f(x)?x2(x?R)的一个等值域变换。????18分
（反例不唯一）
教研室内部备用题选编
1x2y21．设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的半焦距为c．已知原点到直线l：bx?ay?ab的距离等于c?1，
4ab则c的最小值为_____4.____
2．如图，在直角坐标平面内有一个边长为a，中心在原点O的
正六边形ABCDEF，AB//Ox. 直线L:y?kx?t(k为常数） 与正六边形交于M、N两点，记?OMN的面积为S，则函数 S?f(t)的奇偶性为 偶函数
y E F O M N D L C x B A
3．设函数F(x)和f(x)都在区间D上有定义，若对D的任意子区间[u,v]，总有[u,v]上的实数p和q，
F(u)?F(v)?f(q)成立，则称F(x)是f(x)在区间D上的甲函数，f(x)是F(x)在
u?v区间D上的乙函数．已知F(x)?x2?3x,x?R，那么F(x)的乙函数f(x)? 2x?3 ．
使得不等式f(p)?
?an?,当an为偶数时，4．已知数列?an?满足：a1?m（m为正整数），an?1??2若a4?7，则m所有
?3an?1,当an为奇数时。?可能的取值为 56和9 ．
5．已知曲线C：
x|x|y|y|?2?1，下列叙述中正确的有 （1）.（2）.（4） ． a2b（1）．垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点
（2）．直线y?kx?m（k,m?R）与曲线C最多有三个交点 （3）．曲线C关于直线y??x对称
（4）．若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)为曲线C上任意两点，则有
6．已知函数y?f(x)的定义域和值域都是[?1,1]（其图像如下图所示），
y1?y2?0
x1?x2n,x?[??,?]．定义：当f(x1)?0(x1?[?1,1])且函数g(x)?sixg(x2)?x1(x2?[??,?])
时，称x2是方程f(g(x))?0的一个实数根．则方程f(g(x))?0的所有不同实数根的个数是 8
7．已知cos(x??6)?m，则cosx?cos(x??3)? 3m
ax8. 设?x?表示不超过x的最大整数，如?1.5??1,??1.5???2.若函数f?x??1?ax?a?0,a?1?，则
1??1??g?x???f?x?????f??x???的值域为______ ??1,0?_______
2??2??
9．（本题满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．
某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人．
（1）若a?9，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？ （2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？
9．（1）设从今年起的第x年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y万元．则 y?2000?60x(x?N*,1?x?10)； ???????????????4分
800?ax2000?60x?3，????????????????1分 解法一：由题意，有
800?10x40?10．????????????????????????1分 解得，x?3所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标．?????1分 解法二：由于x?N,1?x?10，所以
*2000?60x30x?400?3??0 ?2分
800?10x800?10x所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标．?????1分 （2）解法一：设1?x1?x2?10，则f(x2)?f(x1)?2000?60x22000?60x1 ?800?ax2800?ax1?(60?800?2000a)(x2?x1)?0，????????????4分
(800?ax2)(800?ax1)