12C4118．解: （1）该观众得0分，即连对1个，连错3个，概率为P?4?……………4分
A432C41（2）该观众连对2个，错2个时得4分，故得4分的概率为P． ……………7分 ??14A44该观众全对时得12分，故得12分的概率为P2?所以该观众得正分的概率为P1?P2?11．……………10分 ?4A424117??．……………12分 4242419．（1）证明：因为ABCD是正方形，
所以BD?AO，BD?CO．…………………………1分 在折叠后的△ABD和△BCD中，
仍有BD?AO，BD?CO．…………………………2分 因为AO?CO?O，所以BD?平面AOC．………3分
因为BD?平面BCD，
所以平面AOC?平面BCD．…………………………4分 （2）解：设三棱锥A?BCD的高为h， 由于三棱锥A?BCD的体积为6， 3所以
11166S?BCDh?．因为S?BCD?BC?CD??2?2?2，所以h?．……………5
22233分
以下分两种情形求AC的长：
①当?AOC为钝角时，如图，过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H， 由（1）知BD?平面AOC，所以BD?AH．
又CO?AH，且CO?BD?O，所以AH?平面BCD． 所以AH为三棱锥A?BCD的高，即AH?分
在Rt△AOH中，因为AO?2， 所以OH?6．………………………………………………62A AO2?AH2
2H B O D ??2?2?6?2．………………7分 ????2??2??·6·
C 在Rt△ACH中，因为CO?2，
则CH?CO?OH?2?232．………KKss55uu……………………8分 ?2222?6??32?22所以AC?AH?CH??．………KKss55uu……………………9分
?2?????2???6????②当?AOC为锐角时，如图，过点A作CO的垂线交CO于点H， 由（1）知BD?平面AOC，所以BD?AH．
又CO?AH，且CO?BD?O，所以AH?平面BCD．
所以AH为三棱锥A?BCD的高，即AH?6． 2A 在Rt△AOH中，因为AO?2， 所以OH?AO2?AH2
2???22?6?2．…………10分 ????2??2??2，
B H C O D
在Rt△ACH中，因为CO?则CH?CO?OH?2?22?． 2222?6??2?22所以AC?AH?CH??．……………………………………11分
?2?????2???2????综上可知，AC的长为2或6．……………………………………………………12分 20．解 （1）由题意得an?an?1?2n(n?2)，通过叠加得an?n(n?1)(n?2)．……………2分
又a1?2符合此通项公式，?an?n(n?1)………………………4分 （2）?1111?=?………………………5分 ann(n?1)nn?1bn?1111?11??11?1??1???????????????????an?1an?2an?3a2n?n?1n?2??n?2n?3??n?n2n?1?·7·
……6分
所以bn?11n??2?n?12n?12n?3n?11，………………………7分 12n??3n1………………………8分 6112所以要使不等式恒成立，须使t?2mt??恒成立，m???1,1?．………………………9分
66所以bn的最大值为b1?当t?0时，g(m)?0不成立；………………………10分 当t?0时，g(m)是一次函数，所以
?g(?1)?0g(1)?0，………………………11分
解得t?(??,?2)?(2,??)………………………12分
?????????y21．解：（1）设N(x,y)，则由MN?2MP得P为MN的中点，所以M(x,0),P(0,).…………1
2分
??????????????????????????y????y?又PM?PF,?PM?PF?0 PM???x,??,PF??1,??，…………3分
2?2????y2?4x(x?0)…………5分
（1）由（1）知F(1,0)为曲线C的焦点，由抛物线定义知抛物线上任一点P0(x0,y0)到F的距
p…………6分 2?????????????????p???p????p故AF?x1?,BF?x2?,DF?x3? ，又AF,BF,DF成等差数列
222离等于其到准线的距离，即P0F?x0?得x1?x3?2x2…………7分 直线AD的斜率KAD?y3?y1y?y14?23?…………9分
x3?x1y1?y3y3y12?44y1?y3(x?3)…………10分 4AD的中垂线方程为y??又AD的中点?
x1?x3?x1?x3y1?y3??1?x2?1…………11分 ,在直线上，代入上式，得?22??2故所求点B的坐标为?1,?2?…………12分
·8·
22．解：（1）当a?3时，f?x???1332x?x?2x，得f'?x???x2?3x?2．…………1分 32因为f'?x???x2?3x?2???x?1??x?2?， 所以当1?x?2时，f??x??0，函数f?x?单调递增； 当x?1或x?2时，f??x??0，函数f?x?单调递减．
所以函数f?x?的单调递增区间为?1,2?，单调递减区间为???,1?和?2,???．………………3分
（2）方法1：由f?x???13a2x?x?2x，得f'?x???x2?ax?2， 32因为对于任意x??1,???都有f'(x)?2(a?1)成立， 即对于任意x??1,???都有?x2?ax?2?2(a?1)成立，
即对于任意x??1,???都有x?ax?2a?0成立，………………………………………………4
2分
令h?x??x?ax?2a，
2要使对任意x??1,???都有h?x??0成立，
???0,??a必须满足??0或??1,…………………………………………………………………………5
?2??h?1??0.分
?a2?8a?0,??a2即a?8a?0或??1,………………………………………………………………………6
?2??1?a?0.分
所以实数a的取值范围为??1,8?．…………………………………………………………………7分
方法2：由f?x???13a2x?x?2x，得f'?x???x2?ax?2， 32·9·
因为对于任意x??1,???都有f'(x)?2(a?1)成立，
所以问题转化为，对于任意x??1,???都有?f'(x)?max?2(a?1)．……………………………4分
aa?a2?因为f??x????x????2，其图象开口向下，对称轴为x?．
22?4?①当
2a?1时，即a?2时，f'?x?在?1,???上单调递减， 2所以f'?x?max?f'?1??a?3，
由a?3?2?a?1?，得a??1，此时?1?a?2．………………………………………………5分 ②当
a?a??a??1时，即a?2时，f'?x?在?1,?上单调递增，在?,???上单调递减， 2?2??2?所以f'?x?max?a?a?f'????2，
?2?42a2?2?2?a?1?，得0?a?8，此时2?a?8．……………K由Kss55uu……………………6分 4综上①②可得，实数a的取值范围为??1,8?．……………………………………………………7分
（3）设点P?t,?t???133a2?t?2t?是函数y?f?x?图象上的切点， 2?2则过点P的切线的斜率为k?f'?t???t?at?2， 所以过点P的切线方程为y?t?因为点?0,??在切线上， 所以?133a2t?2t???t2?at?2??x?t?．…………………8分 2??1?3?211113a2?t?t?2t???t2?at?2??0?t?，即t3?at2??0．
323332若过点?0,??可作函数y?f?x?图象的三条不同切线，
·10·
??1?3?23121t?at??0有三个不同的实数解．………………………………………………9分 32323121令g?t??t?at?，则函数y?g?t?与t轴有三个不同的交点．
323a令g??t??2t2?at?0，解得t?0或t?．……………………………………………………10
2则方程分
因为g?0??分
解得：a?2．所以实数a的取值范围为?2,???．…………………………………………12分
113111?a??a?，g????a?，所以必须g????a3??0，………………113243243?2??2?·11·