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线且点E?在P、F?之间时取等号，此时?E?PF??FPE??EPF??120，即直线PF 的斜率为?3（取
?123?y??3?x?1?，可得P(,)，故3也可），联立?233y?4x??．
1123S?PEF????23339三、解答题
（17）解：（Ⅰ）由已知及cos(B?C)??cosA，
得3sinA?cosA?1，-------------------------------------------------------------------------------2分 即2sin(A?又
?66)?1，得sin(A???6)?1-----------------------------------------------------------4分 2?6?A??7??5?，∴A??， 666即A?2?；-----------------------------------------------------------------------------------------------6分 38a?8，--------------------------------------------------------------7分 7（Ⅱ）由已知及正弦定理得b?c?222由余弦定理a?b?c?2bccosA，
得49?(b?c)?2bc?bc?64?bc， -----------------------------------------------------------9分 解得bc?15，-------------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴△ABC的面积为
21153．-----------------------------------------------------------12分 bcsinA?24（18）解：（Ⅰ）∵E、F分别是AC、BC的中点，
∴EF//AB，----------------------------------------------------------------------------------------------------1分 在正三角形PAC中，PE⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴PE⊥平面ABC，----------------------------------------------------------------------------------------3分 ∴PE⊥AB，
又PD⊥AB，PE∩PD=P，
∴AB⊥平面PED， --------------------------------------------------------------------------------------5分 又EF//AB，∴EF⊥平面PED，
又EF?平面PEF，∴平面PEF⊥平面PED.------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）解法1：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，
∴BE⊥平面PAC，----------------------------------------------------------------------------------------7分
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以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴，EB所在 的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示，
则E(0，0，0),A(10，，0),B(0，3,0),P(0，0，3),--------8分
PzEB?(0，3，0),PA?(10，，?3),AB?(?1，3，0),
设m?(a,b,c),为平面PAB的一个法向量，
ECFABDy则由m?AB,m?AP得
x??a?3c?0，令c?1，得a?3,b?1，即m?(3,1,1),------------------------------10分 ????a?3b?0设二面角E?PA?D的大小为?，则cos??m?EB35, ??5|m|?|EB|5?3sin??1?cos2??25， 525. ---------------------------------------------------------12分】 5zP即二面角E?PA?D的正弦值为【解法2：由（Ⅰ）知EF⊥平面PED，∴EF⊥ED，
以点E为坐标原点，ED所在的直线为x轴，EF所在的直线为y轴， 建立空间直角坐标系如图示， ∵AE=1，∠EAD=60°，∴AD=
CFEADyB133,DE?,DB?,
222又PE?3,∴D(33133，0，0),A(,?，0),B(,，0),P(0，0，3), 22222x则AP?(?13133，，3),AD?(0，,0),EB?(，，0), -------------------------------------8分
22222∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC， ∴BE⊥平面PAE，故EB?(33，，0)为平面PAE的法向量，----------------------------------9分 22设m?(a,b,c),为平面PAD的一个法向量，则由m?AD,m?AP得
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?31?a?b?3c?0??22，令c?1得a?2，故m?(2,0,1),---------------------------------10分 ??1b?0??2设二面角E?PA?D的大小为?，则cos??m?EB35, ??5|m|?|EB|5?3sin??1?cos2??25， 525. ---------------------------------------------------------12分】 5P即二面角E?PA?D的正弦值为【解法3：二面角E?PA?D即二面角C-PA-B， 在平面PAB内过点B作BG?PA于G，连结GE,
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC， ∴BE⊥平面PAC，∴BE?PA, 又BG?PA，BECGEADFBBG?B,
∴PA?平面BEG，∴PA⊥GE，
∴∠EGB为二面角C-PA-B的平面角，----------------------------8分 ∵BE?3,GE?AEsin60?3， 2BG?BE2?GE2?15BE25，sin?EGB?，--------------------------------11分 ?2BG5即二面角E?PA?D的正弦值为25. --------------------------------------------------------12分】 5（19）解：（I）依题意得y??x?19,?1900,(x?N?)------------------------------------------3分
?250x?2850,x?19,P(n?17)?0.16，P(n?18)?0.24，P(n?19)?0.24，（Ⅱ）（ⅰ）由条形图知,P(n?16)?0.06，
故P(n?18)?P(n?16)?P(n?17)?P(n?18)?0.46，------------------------------------5分
P(n?19)?P(n?18)?P(n?19)?0.46?0.24?0.70，--------------------------------------6分
由上可知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46,
不大于19的概率为0.7,故n的最小值为19.-----------------------------------------------------------7分
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（ⅱ）n取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为y1元和y2元,
则y1的可能取值为：1900,2150,2400.
且P(y1?1900)?0.7,P(y1?2150)?0.2,P(y1?2400)?0.1，
故Ey1?1900?0.7?2150?0.2?2400?0.1?2000 (元) -----------------------------------9分
y2的可能取值为：2000,2250.
且P(y2?2000)?0.9，P(y2?2250)?0.1，
故Ey2?2000?0.9?2250?0.1?2025（元） ------------------------------------------------11分
Ey1?Ey2，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件. --------------------------------12分
（20）解：（Ⅰ）设A?x1,y1?，依题意得点C??x1,?y1?,------------------------------------------------1分 则S?PAC?11|OP|?2|x1|?|x1|----------------------------------------------------------------------2分 22x22+y?1上，∴|x1|?2，------------------------------------------------------3分 ∵点A在椭圆T:4∴S?PAC?1|x1|?1（当且仅当x1??2时等号成立） 21， 2∴△PAC面积的最大值为1. -----------------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）证法1：当直线AP的斜率存在时，设其方程为y?kx??x22?y?1??422由?，消去y，得?1+4k?x?4kx?3?0，----------------------------------------5分 ?y?kx?1??2?4k?x?x???121?4k2设B?x2,y2?，由韦达定理，得??xx??312?1?4k2?而由AP?mPB，得??x1,①，
②??x11????y1??m?x2,y2??，故?x1?mx2，x2??1，
m22???.
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??1??4k?x1?1?m??1+4k2???代入①、②，得?2??x1??3??m1+4k2两式相除，得k?③
④3?1?m?2，代入④，整理得9m2?30m?4x1+9?0；-----------------7分 4x12对于射线CP，同样的方法可得9n2?30n?4x1+9?0，
2故m,n是方程9x2?30x?4x1+9?0的两个根， ------------------------------------------------9分
由韦达定理，m?n?10； --------------------------------------------------------------------------10分 3当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0,1）时，则B、C重合于点（0.-1），D、A重合，
110,n?3,这时m?n?；--------------------------11分 3310若点A为椭圆T的下顶点（0,-1），同理可得m?n?；
310综上可知m?n为定值，该值为.-------------------------------------------------------------------12分
3由AP?mPB，CP?nPD，得m?【证法2：当直线AP的斜率存在时，这时点A不在y轴上，即x1≠0，
?x2?y2?1?1?422设其方程为y?kx?由?，消去y，得?1+4k?x?4kx?3?0，------------5分
2?1y?kx???2设B?x2,y2?，由韦达定理，得x1x2??3，----------------------------------------------------6分
1?4k2又k?y1?x112，代入上式得x?2?3x11x1?4(y1?)222，----------------------------------------------7分
由AP?mPB，得??x1,??11????y1??m?x2,y2??，故?x1?mx2， 22???12x1?4(y1?)2x2，-----------------------------------------------------------------------8分 得m??1?x23.